English          

Teorija brojeva

Predavanja (2024/2025): Andrej Dujella, Filip Najman         Vježbe: Lukas Novak, Petar Orlić

Sadržaj kolegija

Djeljivost. Najveći zajednički djelitelj. Euklidov algoritam. Prosti brojevi.

Kongruencije. Eulerov teorem. Kineski teorem o ostatcima. Primitivni korijeni i indeksi.

Kvadratni ostatci. Legendreov simbol. Kvadratni zakon reciprociteta. Svojstva djeljivosti Fibonaccijevih brojeva.

Kvadratne forme. Redukcija binarnih kvadratnih formi. Sume dva i četiri kvadrata.

Aritmetičke funkcije. Eulerova i Mobiusova funkcija. Distribucija prostih brojeva. Asimptotske ocjene za aritmetičke funkcije.

Diofantske aproksimacije. Dirichletov teorem. Verižni razlomci. Zakon najboljih aproksimacija.

Diofantske jednadžbe. Linearne diofantske jednadžbe. Pitagorine trojke. Pellova jednadžba.

Osnovna literatura

1. A. Dujella: Teorija brojeva, Školska knjiga, Zagreb, prvo izdanje 2019, drugo izdanje 2024.

2. A. Dujella: Number Theory, Školska knjiga, Zagreb, 2021.

3. A. Baker: A Concise Introduction to the Theory of Numbers, Cambridge University Press, Cambridge, 1994.

4. I. Niven, H. S. Zuckerman, H. L. Montgomery: An Introduction to the Theory of Numbers, Wiley, New York, 1991.

5. K. H. Rosen: Elementary Number Theory and Its Applications, Addison-Wesley, Reading, 1993, 2011.

Dodatna literatura

1. A. Baker: A Comprehensive Course in Number Theory, Cambridge University Press, Cambridge, 2012.

2. K. Chandrasekharan: Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, Berlin, 1968.

3. H. Davenport: The Higher Arithmetic, Cambridge University Press, Cambridge, 1999.

4. A. Dujella, M. Maretić: Kriptografija, Element, Zagreb, 2007.

5. G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford University Press, Oxford, 2008.

6. Hua Loo Keng: Introduction to Number Theory, Springer-Verlag, Berlin, 1982.

7. B. Hutz, An Experimental Introduction to Number Theory, American Mathematical Society, Providence, 2018.

8. B. Ibrahimpašić: Uvod u teoriju brojeva, Pedagoški fakultet Bihać, 2014.

9. K. Ireland, M. Rosen: A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer-Verlag, New York, 1998.

10. M. Jukić Bokun, I. Soldo: Zbirka zadataka iz teorije brojeva, Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku - Fakultet primijenjene matematike i informatike, Osijek, 2023.

11. J.-M. de Koninck, A. Mercier: 1001 Problems in Classical Number Theory, American Mathematical Society, 2007.

12. W. J. LeVeque: Elementary Theory of Numbers, Dover, New York, 1990.

13. T. Nagell: Introduction to Number Theory, Chelsea, New York, 1981.

14. H. E. Rose: A Course in Number Theory, Oxford University Press, Oxford, 1995.

15. W. M. Schmidt: Diophantine Approximation, Springer-Verlag, Berlin, 1996.

16. W. Sierpinski: Elementary Theory of Numbers, PNW, Warszawa; North Holland, Amsterdam, 1987.

17. I. M. Vinogradov: Elements of Number Theory, Dover, New York, 1954.

Uvod u teoriju brojeva, skripta
(u pdf formatu)

Web forum kolegija "Teorija brojeva"

Studentski seminar - Eliptičke krivulje i njihova primjena u kriptografiji (2002/2003)

Način polaganja ispita:

Aktivnost na nastavi: Na vježbama i predavanjima zadavat će se zadaci za samostalno rješavanje. Studenti koji budu najuspješniji u rješavanju tih zadataka, dobit će u pravilu za svaki zadatak po 5 bodova. Maksimalan broj bodova koji će se moći sakupiti u ovoj komponenti je 20 (od toga najviše 15 bodova na vježbama). Sa sakupljenih 15 bodova, studenti će se moći osloboditi usmenog ispita.

Kolokvij: Prvi kolokvij se sastoji od zadataka iz prvog dijela gradiva. Student koji prijavi ispit u prvom ispitnom terminu u ljetnom ispitnom roku, može pisati drugi kolokvij (tj. umjesto pisanog ispita rješavati zadatke iz drugog dijela gradiva). Oba kolokvija zajedno nose 120 bodova i zamjenjuju pisani ispit. Na ostalim ispitnim terminima student polaže pisani ispit iz cijelog gradiva.

Pisani ispit: Pisani ispit sastoji od zadataka iz cjelokupnog gradiva kolegija. Maksimalan broj bodova koji je moguće dobiti na pisanom ispitu je 120.

Usmeni ispit: Na usmenom ispitu provjerava se poznavanje teorije - definicija, teorema i dokaza, kao i razumijevanje cjelokupnog gradiva kolegija. Maksimalan broj bodova koji je moguće dobiti na usmenom ispitu je 60. Studenti koji kroz aktivnosti na nastavi sakupe barem 15 bodova ne moraju izaći na usmeni ispit, već mogu uzeti ocjenu dobivenu na osnovu dva kolokvija ili pisanog ispita te aktivnosti na nastavi.

Konačna ocjena: Ocjena se formira prema sljedećoj tablici, u kojoj se za studente koji su oslobođeni usmenog ispita postotak računa u odnosu na 140 bodova, a za ostale studente u odnosu na 200 bodova:
≥ 85% ocjena 5; ≥ 70% ocjena 4; ≥ 55% ocjena 3; ≥ 40% ocjena 2; < 40% ocjena 1.

Kolokviji

Neki (korisni) linkovi

Number Theory Web (održava Keith Matthews)
Teorija brojeva na sveučilištima širom svijeta
Number Theory Listserver Archives
Elementarna teorija brojeva (kolegij na nastavničkom smjeru) (Zrinka Franušić, Tomislav Pejković)
Kriptografija i sigurnost mreža - kolegij na diplomskom studiju (Andrej Dujella)
Eliptičke krivulje u kriptografiji - izborni kolegij na diplomskom studiju (Andrej Dujella, Filip Najman)
Algoritmi u teoriji brojeva - izborni kolegij na diplomskom studiju (Andrej Dujella)
Teorija brojeva u kriptografiji - poslijediplomski kolegij (Andrej Dujella)
Diofantske jednadžbe - poslijediplomski kolegij (Andrej Dujella)
Algoritmi za eliptičke krivulje - poslijediplomski kolegij (Andrej Dujella)
Diofantske aproksimacije i primjene - poslijediplomski kolegij (Andrej Dujella)
Seminar za teoriju brojeva i algebru (poslijediplomski)
Popis dostupne literature iz teorije brojeva
Diophantine m-tuples page (Andrej Dujella)
High rank elliptic curves with prescribed torsion (Andrej Dujella)
The Prime Pages (Chris Caldwell)
The ABC Conjecture Home Page (Abderrahmane Nitaj)
Fibonacci Numbers and the Golden Section (Ron Knott)
Kevin Brown's number theory page
Number Theory and PARI/GP
Hrvatski matematički elektronički časopis math.e

Web stranice nekih kolegija iz teorije brojeva:

W. Chen: Elementary Number Theory, Imperial College, University of London
M. Filaseta: Elementary Number Theory, University of South Carolina
W. Stein: Elementary Number Theory, Harvard University
D. Burde: Algebraic Number Theory, University of Vienna
P. L. Clark: Number Theory, University of Georgia
F. Lemmermeyer: Algebraic Number Theory, Bilkent University
J. Milne: Algebraic Number Theory, University of Michigan
W. Stein: Introduction to Algebraic Number Theory, Harvard University
W. Chen: Distribution of Prime Numbers, Imperial College, University of London
N. Elkies: Introduction to Analytic Number Theory, Harvard University
K. Kedlaya: Analytic Number Theory, MIT