English

Teorija brojeva

Kolegij na drugoj godini Preddiplomskog sveučilišnog studija Matematike     0+0   2+2

Predavanja: Andrej Dujella, Filip Najman         Vježbe: Tomislav Pejković, Antonela Trbović


Raspored:
predavanja: ponedjeljak 12-14 u A002 (A-Lj), četvrtak 14-16 u A001 (M-Ž)
vježbe: četvrtak 12-14 u 005 (A-Lj), petak 14-16 u A001 (M-Ž)
demonstrature: Antonio Bjelčić (petak 18-20), Josip Rebić (ponedjeljak 17-19)

Sadržaj kolegija

Djeljivost. Najveći zajednički djelitelj. Euklidov algoritam. Prosti brojevi.

Kongruencije. Eulerov teorem. Kineski teorem o ostatcima. Primitivni korijeni i indeksi.

Kvadratni ostatci. Legendreov simbol. Kvadratni zakon reciprociteta. Svojstva djeljivosti Fibonaccijevih brojeva.

Kvadratne forme. Redukcija binarnih kvadratnih formi. Sume dva i četiri kvadrata.

Aritmetičke funkcije. Eulerova i Mobiusova funkcija. Distribucija prostih brojeva. Asimptotske ocjene za aritmetičke funkcije.

Diofantske aproksimacije. Dirichletov teorem. Verižni razlomci. Zakon najboljih aproksimacija. Liouvilleov teorem.

Diofantske jednadžbe. Linearne diofantske jednadžbe. Pitagorine trojke. Pellova jednadžba. Eliptičke krivulje.

Kvadratna polja. Jedinice i prosti elementi u kvadratnim poljima. Primjena na diofantske jednadžbe.


Osnovna literatura

  1. A. Baker: A Concise Introduction to the Theory of Numbers, Cambridge University Press, Cambridge, 1994.

  2. I. Niven, H. S. Zuckerman, H. L. Montgomery: An Introduction to the Theory of Numbers, Wiley, New York, 1991.

  3. K. H. Rosen: Elementary Number Theory and Its Applications, Addison-Wesley, Reading, 1993.

Dodatna literatura

  1. A. Baker: A Comprehensive Course in Number Theory, Cambridge University Press, Cambridge, 2012.

  2. K. Chandrasekharan: Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, Berlin, 1968.

  3. H. Davenport: The Higher Arithmetic, Cambridge University Press, Cambridge, 1999.

  4. A. Dujella, M. Maretić: Kriptografija, Element, Zagreb, 2007.

  5. G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford University Press, Oxford, 2008.

  6. Hua Loo Keng: Introduction to Number Theory, Springer-Verlag, Berlin, 1982.

  7. B. Ibrahimpašić: Uvod u teoriju brojeva, Pedagoški fakultet Bihać, 2014.

  8. K. Ireland, M. Rosen: A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer-Verlag, New York, 1998.

  9. J.-M. de Koninck, A. Mercier: 1001 Problems in Classical Number Theory, American Mathematical Society, 2007.

  10. T. Nagell: Introduction to Number Theory, Chelsea, New York, 1981.

  11. H. E. Rose: A Course in Number Theory, Oxford University Press, Oxford, 1995.

  12. W. M. Schmidt: Diophantine Approximation, Springer-Verlag, Berlin, 1996.

  13. W. Sierpinski: Elementary Theory of Numbers, PNW, Warszawa; North Holland, Amsterdam, 1987.

  14. I. M. Vinogradov: Elements of Number Theory, Dover, New York, 1954.

Uvod u teoriju brojeva, skripta
(u pdf formatu)


Web forum kolegija "Teorija brojeva"

Studentski seminar - Eliptičke krivulje i njihova primjena u kriptografiji (2002/2003)


Način polaganja ispita:

Tijekom semestra pišu se dva kolokvija (na svakom će maksimalan broj bodova biti 60).
Na vježbama redovito, a na predavanjima povremeno, zadavat će se zadatci za samostalno rješavanje. Studenti koji budu najuspješniji u rješavanju tih zadataka, dobit će u pravilu za svaki zadatak po 5 bodova. Maksimalan broj bodova koji će se moći sakupiti u ovoj komponenti je 20. Sa sakupljenih 15 bodova, studenti će se moći osloboditi završnog ispita.
Završni ispit je usmeni; ispituje se sadržaj obrađen na predavanjima. Uvjet za pristup završnom ispitu je ukupno barem 40 bodova prikupljenih na 2 kolokvija i aktivnostima na nastavi. Maksimalan broj bodova koji je moguće dobiti na završnom ispitu je 60. Studenti koji kroz aktivnosti na nastavi sakupe barem 15 bodova ne moraju izaći na završni ispit, već mogu uzeti ocjenu dobivenu na osnovu 2 kolokvija i aktivnosti na nastavi.
Popraviti se može najviše jedan od kolokvija ili završni ispit. Nakon drugog kolokvija piše se popravak kolokvija na kojem studenti mogu pisati ili popravak prvog ili popravak drugog kolokvija. Nema uvjeta za izlazak na taj popravak. Studenti koji nisu zadovoljni rezultatom završnog ispita i koji nisu pisali popravak kolokvija, mogu izaći na popravni završni ispit. Taj ispit bi bio u istom terminu kad i završni ispit za studente koji su pisali popravak kolokvija.
Zaključivanje ocjene: Zbrojit će se bodovi iz 1. kolokvija (max. 60), 2. kolokvija (max.60), aktivnosti na nastavi (max.20) i završnog ispita (max.60). Studentima koji budu oslobođeni završnog ispita, zbrojit će se bodovi iz prve 3 komponente.
Ocjene: ≥ 85% ocjena 5; ≥ 70% ocjena 4; ≥ 55% ocjena 3; ≥ 40% ocjena 2; < 40% ocjena 1.


Kolokviji

27.5.1999. (pdf)
20.12.1999. (pdf)
26.1.2001. (pdf)
28.1.2002. (pdf)
24.1.2003. (pdf);   rezultati
30.1.2004. grupa A (pdf);   grupa B (pdf);   rezultati
18.1.2005. grupa A (pdf);   grupa B (pdf);   rezultati
20.1.2006. grupa A (pdf);   grupa B (pdf);   rezultati
26.1.2007. grupa A (pdf);   grupa B (pdf);   rezultati,   rješenja
25.4.2008. grupa A (pdf);   grupa B (pdf); grupa C (pdf);   grupa D (pdf);   rezultati: TB, UTB
30.6.2008. grupa A (pdf);   grupa B (pdf); grupa C (pdf);   grupa D (pdf);   rezultati: TB, UTB
24.4.2009. grupa A (pdf);   grupa B (pdf); grupa C (pdf);   grupa D (pdf);   rezultati
30.6.2009. grupa A (pdf);   grupa B (pdf); grupa C (dvi/pdf);   grupa D (pdf);   rezultati
12.4.2010. grupa A (pdf);   grupa B (pdf); grupa C (pdf);   grupa D (pdf);   rezultati
7.6.2010. grupe A, B, C, D (pdf);   rezultati
16.4.2012. grupe A, B (pdf)
4.6.2012. grupe A, B (pdf)
8.4.2013. grupa A (pdf);   grupa B (pdf)
3.6.2013. grupa A (pdf);   grupa B (pdf);   rezultati
22.4.2014. grupa A (pdf);   grupa B (pdf)
16.6.2014. grupa A (pdf);   grupa B (pdf);   rezultati
30.4.2015. grupa A (pdf);   grupa B (pdf)
26.6.2015. grupe A, B (pdf)
25.4.2016. grupe A, B (pdf)
24.6.2016. grupa A (pdf);   grupa B (pdf)
2.5.2017. grupe A, B (pdf)
26.6.2017. grupe A, B (pdf)


Neki (korisni) linkovi

Number Theory Web (održava Keith Matthews)
Teorija brojeva na sveučilištima širom svijeta
Number Theory Listserver Archives
Elementarna teorija brojeva (kolegij na nastavničkom smjeru) (Andrej Dujella, Zrinka Franušić)
Kriptografija i sigurnost mreža - kolegij na diplomskom studiju (Andrej Dujella)
Teorija brojeva u kriptografiji - poslijediplomski kolegij (Andrej Dujella)
Diofantske jednadžbe - poslijediplomski kolegij (Andrej Dujella)
Algoritmi za eliptičke krivulje - poslijediplomski kolegij (Andrej Dujella)
Diofantske aproksimacije i primjene - poslijediplomski kolegij (Andrej Dujella)
Seminar za teoriju brojeva i algebru (poslijediplomski)
Popis dostupne literature iz teorije brojeva
Diophantine m-tuples page (Andrej Dujella)
High rank elliptic curves with prescribed torsion (Andrej Dujella)
The Prime Pages (Chris Caldwell)
The ABC Conjecture Home Page (Abderrahmane Nitaj)
Fibonacci Numbers and the Golden Section (Ron Knott)
Kevin Brown's number theory page
Number Theory and PARI/GP
Hrvatski matematički elektronički časopis math.e

Web stranice nekih kolegija iz teorije brojeva:

Elementary Number Theory (William Stein)
Elementary Number Theory (Michael Filaseta)
Number Theory (Pete L. Clark)
Introduction to Analytic Number Theory (Noam Elkies)
Analytic Number Theory (Kiran Kedlaya)
Introduction to Algebraic Number Theory (William Stein)
Algebraic Number Theory (James Milne)

Andrej Dujella home page