Algoritmi u teoriji brojeva

Izborni kolegij na Diplomskom sveučilišnom studiju Računarstvo i matematika                             0+0   3+0

Raspored: utorak 16-19 (online)
Nastava će početi u utorak 16.3.2021. u 16:15 (online).
Upute će biti objavljene nekoliko dana prije prvog predavanja.

Link za pristup nastavi:
https://zoom.us/j/94784020820?pwd=eFZPRXhwZjdjdEo5WTY5aDdxMjdJdz09
Passcode: 125294

U utorak 23.3.2021. studenti će na e-mail adresu navedenu u sustavu Merlin dobiti 1. zadaću.
Rješenja treba poslati do 6.4.2021. na duje@math.hr, po mogućnosti kao jedan pdf file.

U utorak 6.4.2021. studenti će na e-mail adresu navedenu u sustavu Merlin dobiti 2. zadaću.
Rješenja treba poslati do 11.5.2021. na duje@math.hr, po mogućnosti kao jedan pdf file.

U utorak 11.5.2021. studenti će na e-mail adresu navedenu u sustavu Merlin dobiti 3. zadaću.
Rješenja treba poslati do 25.5.2021. na duje@math.hr, po mogućnosti kao jedan pdf file.

U srijedu 26.5.2021. studenti će na e-mail adresu navedenu u sustavu Merlin dobiti 4. zadaću.
Rješenja treba poslati do 8.6.2021. na duje@math.hr, po mogućnosti kao jedan pdf file.


Završni pismeni ispit će se održati u utorak 15.6.2021. u 16 sati (u terminu zadnjih predavanja). Ispit će se održati online. Studenti će se na početku ispita trebati spojiti preko zooma u 16:00 (link je isti kao za predavanja) zbog evidencije i uputa na početku pisanja ispita.

Studenti će svoje zadatke za završni pismeni ispit moći naći na poveznici
https://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/algortb/zavrsni2021/
u 16 sati. Zadaci se nalaze u pdf fileu nazvanom po prezimenu studenta.

Ispit se piše 2 sata. Sastojat će se od 4 zadatka od koji svaki donosi 10 bodova. Primjer zadataka koji se mogu očekivati na završnom ispitu može se vidjeti ovdje.

Po završetku ispita, studenti trebaju poslati svoja rješenja e-mailom na duje@math.hr, konačna rješenja zadataka napišite u tekstu poruke, a postupak rješavanja pošaljite u prilogu poruke uslikan ili skeniran.

Studenti koji su iz zadaća i aktivnosti na nastavi sakupili dovoljan broj bodova za prolaznu ocjenu nisu obavezni izaći na završni ispit ako su zadovoljni ocjenom.

Studenti koji bi zbog opravdanih razloga bili spriječeni pristupiti ispitu u predviđenom terminu, mogu mi se javiti oko dogovora o dodatnom terminu, a ovisno o okolnostima i o modifikaciji završnog dijela polaganja ispita.


Rezultati zadaća i završnog ispita
Ako ima studenata koji ne žele prihvatiti ostvarenu ocjenu, molim da mi to jave do petka 18.6.2021. u 12 sati.
Molim da mi se do istog roka jave i studenti koji žele izaći na popravni završni ispit.
Cilj ovog kolegija je osposobiti studente za razumijevanje uloge teorije brojeva u suvremenoj računalnoj kriptografiji te izvod, primjenu i implementaciju algoritama za rješavanje problema s kongruencijama, testiranje prostosti i faktorizacije velikih prirodnih brojeva.

Kolegij nema formalnih kolegija prethodnika. Za uspješno praćenje kolegija, poželjno je da je položen kolegij Teorija brojeva s preddiplomskog studija matematike.


Snimke predavanja

Sadržaj kolegija

Osnovni algoritmi u teoriji brojeva. Algoritmi za množenje velikih prirodnih brojeva. Euklidov algoritam. Kineski teorem o ostacima. Verižni razlomci. Kvadratne kongruencije. Kvadrati i kvadratni korijeni. LLL-algoritam.

Kriptografija javnog ključa. Kriptosustavi zasnovani na problemu faktorizacije. Kriptosustavi zasnovani na problemu diskretnog logaritma. Primjena LLL-algoritma u kriptoanalizi.

Testiranje i dokazivanje prostosti. Distribucija prostih brojeva. Pseudoprosti brojevi. Miller-Rabinov, AKS i drugi testovi prostosti.

Metode faktorizacije. Pollardova ρ-metoda. Pollardova p-1 metoda. Metoda verižnog razlomka. Metoda kvadratnog sita.


Osnovna literatura

  1. A. Dujella, M. Maretić: Kriptografija, Element, Zagreb, 2007.

  2. A. Dujella: Teorija brojeva, Školska knjiga, Zagreb, 2019.

  3. A. Dujella: Number Theory, Školska knjiga, Zagreb, 2021.

Dodatna literatura

  1. H. Cohen: A Course in Computational Algebraic Number Theory, Springer-Verlag, 1993.

  2. R. Crandall, C. Pomerance: Prime Numbers. A Computational Perspective, Springer-Verlag, 2001.

  3. A. Das: Computational Number Theory, CRC Press, 2013.

  4. N. Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography, Springer-Verlag, 1994.

  5. A. J. Menezes, P. C. Oorschot, S. A. Vanstone: Handbook of Applied Cryptography, CRC Press, 1996.

  6. D. R. Stinson: Cryptography. Theory and Practice, CRC Press, 2005.


Algoritmi u teoriji brojeva, skripta
(u pdf formatu)


Način polaganja ispita:

Domaće zadaće: Bit će četiri domaće zadaće (koje će se bodovati). Rok za predaju zadaće će biti u pravilu dva tjedna. Maksimalan broj bodova na svakoj zadaći je 15.
Aktivnost na nastavi: Na nastavi će se zadavati zadaci za samostalno rješavanje. Studenti koji budu najuspješniji u rješavanju tih zadataka, dobit će u pravilu za svaki zadatak po 5 bodova. Maksimalan broj bodova koji će se moći sakupiti u ovoj komponenti je 20.
Kolokviji i završna provjera znanja: Neće biti kolokvija. Završna provjera znanja je pismena. Zadaci će biti iz onih poglavlja koja nisu bila obuhvaćena domaćim zadaćama. Nema uvjeta za pristup završnoj provjeri. Završna provjera znanja će se održati u redovitom terminu nastave iz ovog kolegija (vjerojatno zadnji tjedan nastave). Maksimalan broj bodova koji je moguće dobiti na završnom ispitu je 40.
Bit će jedan termin za popravak završnog ispita u dogovoru za zainteresiranim studentima. Nema uvjeta za izlazak na popravak.
Zaključivanje ocjene: Zbrojit će se bodovi iz domaćih zadaća (max. 60), aktivnosti na nastavi (max. 20) i završnog ispita (max. 40).
Ocjene:   ≥ 85 bodova - ocjena 5;   ≥ 70 bodova - ocjena 4;   ≥ 55 bodova - ocjena 3;   ≥ 40 bodova - ocjena 2;   < 40 bodova - ocjena 1.


Obavijesti na web forumu kolegija "Kriptografija"

Kriptografija i sigurnost mreža - kolegij na diplomskom studiju računarstva

Eliptičke krivulje u kriptografiji - kolegij na diplomskom studiju računarstva i teorijske matematike

Teorija brojeva - kolegij na preddiplomskom studiju

Elementarna teorija brojeva - kolegij na preddiplomskom studiju

Algoritmi za eliptičke krivulje - poslijediplomski kolegij (2008/2009)

Teorija brojeva u kriptografiji - poslijediplomski kolegij (2003/2004)

Diofantske aproksimacije i primjene - poslijediplomski kolegij (2011/2012)

Studentski seminar - Eliptičke krivulje i njihova primjena u kriptografiji (2002/2003)

Popis dostupne literature iz teorije brojeva

PARI/GP home page

PARI/GP in browser

SageMathCell

MAGMA Calculator


Andrej Dujella home page