Eliptičke krivulje u kriptografiji

Izborni kolegij na Diplomskom sveučilišnom studiju Teorijska matematika i Diplomskom sveučilišnom studiju Računarstvo i matematika 0+0 3+0

Program sastavili: Andrej Dujella i Filip Najman

Predavanja (2022/2023): Andrej Dujella

Raspored: četvrtak 13-16 u A102

U četvrtak 16.3.2023. studenti će na e-mail adresu navedenu u sustavu Merlin dobiti 1. zadaću.
Rješenja treba poslati do 30.3.2023. na duje@math.hr, po mogućnosti kao jedan pdf file.

U četvrtak 30.3.2023. studenti će na e-mail adresu navedenu u sustavu Merlin dobiti 2. zadaću.
Rješenja treba poslati do 13.4.2023. na duje@math.hr, po mogućnosti kao jedan pdf file.

U četvrtak 13.4.2023. studenti će na e-mail adresu navedenu u sustavu Merlin dobiti 3. zadaću.
Rješenja treba poslati do 11.5.2023. na duje@math.hr, po mogućnosti kao jedan pdf file.

U četvrtak 11.5.2023. studenti će na e-mail adresu navedenu u sustavu Merlin dobiti 4. zadaću.
Rješenja treba poslati do 25.5.2023. na duje@math.hr, po mogućnosti kao jedan pdf file.

Bodovi iz zadaća i aktivnosti na nastavi

Snimke predavanja iz akad. god. 2020/2021

Sadržaj kolegija

Eliptičke krivulje nad poljem racionalnih brojeva. Zbrajanje točaka na eliptičkoj krivulji. Mordell-Weilova grupa eliptičke krivulje nad poljem racionalnih brojeva. Algoritmi za računanje torzijske grupe i ranga.

Eliptičke krivulje nad konačnim poljima. Efikasna implementacija osnovnih operacija na eliptičkih krivuljama. Eliptičke krivulje nad poljima karakteristike 2. Algoritmi za određivanje reda grupe točaka na eliptičkoj krivulji.

Kriptografija javnog ključa. Ideja javnog ključa. Kriptosustavi zasnovani na problemu faktorizacije i problemu diskretnog logaritma u konačnoj grupi. Digitalni potpis.

Kriptosustavi koji koriste eliptičke krivulje. Analogoni El-Gamalovog i DSA kriptosustava. Usporedba s ostalim kriptosustavima javnog ključa. Problem diskretnog logaritma za eliptičke krivulje. Izbor parametara kriptosustava.

Ostale primjene eliptičkih krivulja. Lenstrina metoda faktorizacije. Dokazivanje prostosti pomoću eliptičkih krivulja.

Osnovna literatura

A. Dujella: Teorija brojeva, Školska knjiga, Zagreb, 2019.
A. Dujella: Number Theory, Školska knjiga, Zagreb, 2021.
A. Dujella, M. Maretić: Kriptografija, Element, Zagreb, 2007.
N. Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography, Springer-Verlag, New York, 1994.

Dodatna literatura

I. Blake, G. Seroussi, N. Smart: Elliptic Curves in Cryptography, Cambridge University Press, Cambridge, 1999.
A. Enge: Elliptic Curves and Their Applications to Cryptography. An Intoduction, Kluwer, Boston, 1999.
D. Hankerson, A. Menezes, S. Vanstone: Guide to Elliptic Curve Cryptography, Springer-Verlag, New York, 2004.
J. H. Silverman, J. Tate: Rational Points on Elliptic Curves, Springer-Verlag, Berlin, 1992.
L. C. Washington: Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography, CRC Press, Boca Raton, 2008.

Eliptičke krivulje u kriptografiji, skripta
(u pdf formatu)
Kriptografija pomoću izogenija supersingularnih eliptičkih krivulja (F. Najman)

Način polaganja ispita:

Domaće zadaće: Bit će četiri domaće zadaće (koje će se bodovati). Rok za predaju zadaće će biti u pravilu dva tjedna. Maksimalan broj bodova na svakoj zadaći je 15.
Aktivnost na nastavi: Na nastavi će se zadavati zadaci za samostalno rješavanje. Studenti koji budu najuspješniji u rješavanju tih zadataka, dobit će u pravilu za svaki zadatak po 5 bodova. Maksimalan broj bodova koji će se moći sakupiti u ovoj komponenti je 20.
Kolokviji i završna provjera znanja: Neće biti kolokvija. Završna provjera znanja je pismena. Zadaci će biti iz onih poglavlja koja nisu bila obuhvaćena domaćim zadaćama. Nema uvjeta za pristup završnoj provjeri. Završna provjera znanja će se održati u redovitom terminu nastave iz ovog kolegija (vjerojatno zadnji tjedan nastave). Maksimalan broj bodova koji je moguće dobiti na završnom ispitu je 40.
Bit će jedan termin za popravak završnog ispita u dogovoru za zainteresiranim studentima. Nema uvjeta za izlazak na popravak.
Zaključivanje ocjene: Zbrojit će se bodovi iz domaćih zadaća (max. 60), aktivnosti na nastavi (max. 20) i završnog ispita (max. 40).
Ocjene: ≥ 85 bodova - ocjena 5; ≥ 70 bodova - ocjena 4; ≥ 55 bodova - ocjena 3; ≥ 40 bodova - ocjena 2; < 40 bodova - ocjena 1.

Obavijesti na web forumu kolegija "Kriptografija"

Kriptografija i sigurnost mreža - kolegij na diplomskom studiju računarstva

Teorija brojeva - kolegij na preddiplomskom studiju

Elementarna teorija brojeva - kolegij na preddiplomskom studiju

Algoritmi za eliptičke krivulje - poslijediplomski kolegij (2008/2009)

Teorija brojeva u kriptografiji - poslijediplomski kolegij (2003/2004)

Studentski seminar - Eliptičke krivulje i njihova primjena u kriptografiji (2002/2003)

High rank elliptic curves with prescribed torsion

Infinite families of elliptic curves with high rank and prescribed torsion

History of elliptic curves rank records

Popis dostupne literature iz teorije brojeva

PARI/GP home page