English

Eliptičke krivulje u kriptografiji

Izborni kolegij na Diplomskom sveučilišnom studiju Teorijska matematika i Diplomskom sveučilišnom studiju Računarstvo i matematika                             0+0   3+0

Program sastavili: Andrej Dujella i Filip Najman

Predavanja (2015/2016): Andrej Dujella


Raspored: ponedjeljak 12-15 (12-13 u 109, 13-15 u 101)
Završni ispit održat će se u ponedjeljak 30.5.2016. u 13 sati u predavanici br. 101.

Rezultati završnog ispita.
Zadaće se mogu pogledati u utorak, 7.6.2016. u 14 sati.
U istom terminu je i upis ocjena te dogovor o terminu popravnog završnog ispita.

Popravni završni ispit održat će se u srijedu 15.6.2016. u 16 sati u predavaonici br. 101.

Studenti kojima još nije upisana ocjena u indeks, na upis ocjena mogu doći u petak 24.6.2016. u 15 sati.


Prva zadaća mogla se predići od 7.3.2016. do 14.3.2016.
Rok za predaju rješenja prve zadaće bio je 21.3.2016.
Rezultati prve zadaće
Druga zadaća mogla se predići od 21.3.2016. do 29.3.2016.
Rok za predaju rješenja druge zadaće bio je 4.4.2016.
Rezultati druge zadaće
Treća zadaća mogla se predići od 4.4.2016. do 11.4.2016.
Rok za predaju rješenja treće zadaće bio je 2.5.2016.
Rezultati treće zadaće
Četvrta zadaća mogla se predići od 2.5.2016. do 9.5.2016.
Rok za predaju rješenja četvrte zadaće bio je 16.5.2016.
Rezultati četvrte zadaće

Cilj ovog kolegija je upoznati studente s osnovnim pojmovima, činjenicama i algoritmima vezanim uz eliptičke krivulje nad poljem racionalnih brojeva i konačnim poljima, te njihovim primjenama u kriptografiji i algoritamskoj teoriji brojeva.

Kolegij nema formalnih kolegija prethodnika. Za uspješno praćenje kolegija, poželjno je da je položen kolegij Teorija brojeva s preddiplomskog studija matematike, te jedan od kolegija Algebarske krivulje (smjer teorijska matematika) ili Kriptografija i sigurnost mreža (smjer računarstvo i matematika).


Sadržaj kolegija

Eliptičke krivulje nad poljem racionalnih brojeva. Zbrajanje točaka na eliptičkoj krivulji. Mordell-Weilova grupa eliptičke krivulje nad poljem racionalnih brojeva. Algoritmi za računanje torzijske grupe i ranga.

Eliptičke krivulje nad konačnim poljima. Efikasna implementacija osnovnih operacija na eliptičkih krivuljama. Eliptičke krivulje nad poljima karakteristike 2. Algoritmi za određivanje reda grupe točaka na eliptičkoj krivulji.

Kriptografija javnog ključa. Ideja javnog ključa. Kriptosustavi zasnovani na problemu faktorizacije i problemu diskretnog logaritma u konačnoj grupi. Digitalni potpis.

Kriptosustavi koji koriste eliptičke krivulje. Analogoni El-Gamalovog i DSA kriptosustava. Usporedba s ostalim kriptosustavima javnog ključa. Problem diskretnog logaritma za eliptičke krivulje. Izbor parametara kriptosustava.

Ostale primjene eliptičkih krivulja. Lenstrina metoda faktorizacije. Dokazivanje prostosti pomoću eliptičkih krivulja.


Osnovna literatura

  1. A. Dujella, M. Maretić: Kriptografija, Element, Zagreb, 2007.

  2. N. Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography, Springer-Verlag, New York, 1994.

Dodatna literatura

  1. I. Blake, G. Seroussi, N. Smart: Elliptic Curves in Cryptography, Cambridge University Press, Cambridge, 1999.

  2. D. Hankerson, A. Menezes, S. Vanstone: Guide to Elliptic Curve Cryptography, Springer-Verlag, New York, 2004.

  3. J. H. Silverman, J. Tate: Rational Points on Elliptic Curves, Springer-Verlag, Berlin, 1992.

  4. L. C. Washington: Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography, CRC Press, Boca Raton, 2008.


Eliptičke krivulje u kriptografiji, skripta
(u pdf formatu)


Način polaganja ispita:

Domaće zadaće: Bit će četiri domaće zadaće (koje će se bodovati). Rok za predaju zadaće će biti u pravilu dva tjedna. Maksimalan broj bodova na svakoj zadaći je 15.
Aktivnost na nastavi: Na nastavi će se zadavati zadaci za samostalno rješavanje. Studenti koji budu najuspješniji u rješavanju tih zadataka, dobit će u pravilu za svaki zadatak po 5 bodova. Maksimalan broj bodova koji će se moći sakupiti u ovoj komponenti je 20.
Kolokviji i završni ispit: Neće biti kolokvija. Završni ispit je pismeni. Zadaci će biti iz onih poglavlja koja nisu bila obuhvaćena domaćim zadaćama. Nema uvjeta za pristup završnom ispitu. Završni ispit će se održati u redovitom terminu nastave iz ovog kolegija (vjerojatno jedan od zadnja dva tjedna nastave). Maksimalan broj bodova koji je moguće dobiti na završnom ispitu je 40.
Bit će jedan termin za popravak završnog ispita za studente koji nisu izašli za završni ispit ili su nezadovoljni rezultatom završnog ispita.
Zaključivanje ocjene: Zbrojit će se bodovi iz domaćih zadaća (max. 60), aktivnosti na nastavi (max. 20) i završnog ispita (max. 40).
Ocjene:   ≥ 85 bodova - ocjena 5;   ≥ 70 bodova - ocjena 4;   ≥ 55 bodova - ocjena 3;   ≥ 40 bodova - ocjena 2;   < 40 bodova - ocjena 1.


Obavijesti na web forumu kolegija "Kriptografija"

Kriptografija i sigurnost mreža - kolegij na diplomskom studiju računarstva

Kriptografija - stari izborni kolegij

Teorija brojeva - kolegij na preddiplomskom studiju

Elementarna teorija brojeva - kolegij na preddiplomskom studiju

Algoritmi za eliptičke krivulje - poslijediplomski kolegij (2008/2009)

Teorija brojeva u kriptografiji - poslijediplomski kolegij (2003/2004)

Studentski seminar - Eliptičke krivulje i njihova primjena u kriptografiji (2002/2003)

Popis dostupne literature iz teorije brojeva

Software packages of interest to number theory

PARI/GP home page

Number Theory and PARI/GP

The Sage Notebook

MAGMA Calculator


Domaće zadaće i završni ispiti:

2012/2013: zad1, zad2, zad3, zad4, završni, rezultati

2013/2014: zad1, zad2, zad3, završni

2014/2015: zad1, zad2, zad3, zad4, završni, rezultati


Andrej Dujella home page