English

Andrej Dujella:

Diofantove m-torke i eliptičke krivulje

Ispit se polaže preko rješavanja domaćih zadaća i održavanja jednog seminarskog predavanja.

Link za pristup nastavi:
https://zoom.us/j/93872829831?pwd=YVdVMzNzWmtPZWhwR1Z5QlZNOUhuZz09
Passcode: 574939

Od 1.12.2021. ovdje možete predići prvu zadaću.
Rok za predaju rješenja prve zadaće je 22.12.2021.
Od 22.12.2021. ovdje možete predići drugu zadaću.
Rok za predaju rješenja druge zadaće je 19.1.2022.
Od 2.2.2022. ovdje možete predići treću zadaću.
Rok za predaju rješenja treće zadaće je 9.3.2022.
Od 23.3.2022. ovdje možete predići četvrtu zadaću.
Rok za predaju rješenja četvrte zadaće je 20.4.2022.
Od 4.5.2022. ovdje možete predići petu zadaću.
Rok za predaju rješenja pete zadaće je 1.6.2022.

Opis kolegija

Racionalna Diofantova m-torka je skup of m racionalnih brojeva različitih od 0 sa svojstvom da produkt bilo koja dva među njima uvećan za 1 daje kvadrat nekog racionalnog broja. Problem proširenja racionalne Diofantove trojke {a,b,c} do četvorke prirodno vodi do proučavanja eliptičke krivulje y² = (ax+1)(bx+1)(cx+1). Ova veza Diofantovih m-torki i eliptičkih krivulja se pokazala vrlo plodonosnom. Posebice, nedavno je rezultirala konstrukcijom beskonačnih familija racionalnih Diofantovih šestorki, što je bio otvoreni problem još od vremena kada je Euler dokazao da postoji beskonačno mnogo racionalnih Diofantovih petorki (i njegova konstrukcija ima elegantnu interpretaciju u terminima eliptičkih krivulja). S druge strane, krivulje dobivene pomoću Diofantovih trojki i četvorki korištene su u konstrukciji eliptičkih krivulja sa zadanom torzijskom grupom i velikim rangom, pa su i danas neki od rekordnih rangova za eliptičke krivulje nad Q i Q(t) dobiveni upravo tom metodom. U kolegiju će se obraditi spomenute veze eliptičkih krivulja s racionalnim Diofantovim m-torkama, a također i cjelobrojnim Diofantovim m-torkama, gdje se pojavljuju pitanja mogućih torzijskih grupa i cjelobrojnih točakama na takvim krivuljama.

Teme koje će se obraditi u ovom kolegiju uključuju: pregled osnovnih rezultata o cjelobrojnim i racionalnim Diofantovim m-torkama; uvod u eliptičke krivulje na poljem racionalnih brojeva; Mordell-Weilova grupa eliptičkih krivulja induciranih s racionalnim Diofantovim trojkama; konstrukcija beskonačnih familija racionalnih Diofantovih petorki i šestorki; općenito o metodama za računanje ranga i konstrukciju eliptičkih krivulja velikog ranga; primjena racionalnih Diofantovih trojki u konstrukciji krivulja velikog ranga nad Q i Q(t) s torzijskim grupama Z/2Z × Z/2Z, Z/2Z × Z/4Z, Z/2Z × Z/6Z i Z/2Z × Z/8Z; eliptičke krivulje ranga 0; moguće torzijske grupe eliptičkih krivulja induciranih cjelobrojnim Diofantovim trojkama; cjelobrojne točke na nekim familijama eliptičkih krivulja; D(q)-m-torke i eliptičke krivulje; jake Diofantove trojke; eliptičke krivulje inducirane racionalnim Diofantovim četvorkama. Još neke povezane teme bit će obrađene kroz seminarska predavanja studenata.

Od studenata se očekuje poznavanje osnovnih pojmova i činjenica iz teorije brojeva, na nivou preddiplomskog kolegija Teorija brojeva.

Literatura

1. A. Dujella: Teorija brojeva, Školska knjiga, Zagreb, 2019.

2. A. Dujella: Number Theory, Školska knjiga, Zagreb, 2021.

3. A. Filipin, Z. Franušić: Diofantovi skupovi, Sveučilište u Zagrebu, skripta, 2020.

4. J. H. Silverman, J. Tate: Rational Points on Elliptic Curves, Springer-Verlag, Berlin, 1992.

5. L. C. Washington: Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography, CRC Press, Boca Raton, 2008.

6. Izbor recentnih članaka s https://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/dtuples.html

Bilješke s predavanja
(u pdf formatu)

Seminarske teme

Neki (korisni) linkovi

Seminar za teoriju brojeva i algebru
Teorija brojeva - kolegij na preddiplomskom studiju
Eliptičke krivulje u kriptografiji - kolegij na diplomskom studiju
Algoritmi u teoriji brojeva - kolegij na diplomskom studiju
Studentski seminar - Eliptičke krivulje i njihova primjena u kriptografiji
Diophantine m-tuples page
High rank elliptic curves with prescribed torsion
Infinite families of elliptic curves with high rank and prescribed torsion
History of elliptic curves rank records
High rank elliptic curves with prescribed torsion over quadratic fields
PARI/GP home page
PARI/GP in browser
SageMathCell
MAGMA Calculator
Traženje eliptičkih krivulja velikog ranga u programskom paketu PARI/GP (Vinko Petričević)
Eliptičke krivulje u GeoGebri (Šime Šuljić)
Number Theory Web
Number theory groups and seminars
Popis dostupne literature iz teorije brojeva