Elementarna teorija brojeva

Obavezni kolegij na trećoj godini Preddiplomskog sveučilišnog studija Matematike - smjer nastavnički     0+0   2+2
Program kolegija sastavio Andrej Dujella.

Od akademske godine 2010/2011, predavanja iz kolegija Elementarna teorija brojeva drži Zrinka Franušić.

Akademska godina 2016/2017:

Predavanja: Andrej Dujella, Zrinka Franušić        Vježbe: Ante Čeperić, Vinko Petričević


Raspored:
predavanja: četvrtak 14-16 u 005 (A-Lj), utorak 16-18 u 005 (M-Ž)
vježbe: četvrtak 16-18 u 005 (A-Lj), srijeda 16-18 u 004 (M-Ž)

Sadržaj kolegija

Djeljivost. Najveći zajednički djelitelj. Euklidov algoritam. Prosti brojevi. Jednoznačna faktorizacija.

Kongruencije. Linearne kongruencije. Linearne diofantske jednadžbe. Kineski teorem o ostatcima. Eulerov teorem. Wilsonov teorem. Primitivni korijeni.

Zadatci s natjecanja I.

Aritmetičke funkcije. Funkcija najveće cijelo. Eulerova funkcija. Mobiusova funkcija. Distribucija prostih brojeva.

Kvadratni ostatci i kvadratne forme. Legendreov simbol. Kvadratni zakon reciprociteta. Sume dva kvadrata. Sume četiri kvadrata.

Diofantske jednadžbe. Pitagorine trojke. Pellova jednadžba. Verižni razlomci.

Zadatci s natjecanja II.

Primjene teorije brojeva. Osnove kriptografije. Testovi prostosti. Metode faktorizacije.


Osnovna literatura

  1. I. Niven, H. S. Zuckerman, H. L. Montgomery: An Introduction to the Theory of Numbers, Wiley, New York, 1991.

  2. K. H. Rosen: Elementary Number Theory and Its Applications, Addison-Wesley, Reading, 1993.

Dodatna literatura

  1. A. Baker: A Concise Introduction to the Theory of Numbers, Cambridge University Press, Cambridge, 1994.

  2. M. Bombardelli, A. Dujella, S. Slijepčević: Matematička natjecanja učenika srednjih škola, HMD, Element, Zagreb, 1996.

  3. A. Dujella, M. Maretić: Kriptografija, Element, Zagreb, 2007.

  4. B. Ibrahimpašić: Uvod u teoriju brojeva, Pedagoški fakultet Bihać, 2014.

  5. N. Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography, Springer-Verlag, New York, 1994.

  6. J.-M. de Koninck, A. Mercier: 1001 Problems in Classical Number Theory, American Mathematical Society, 2007.

  7. Z. Kurnik (ur.): Matematička natjecanja u Republici Hrvatskoj za 7. i 8. razred osnovne i 1. razred srednje škole 1992.-2006., HMD, Zagreb, 2007.

  8. W. J. LeVeque: Elementary Theory of Numbers, Dover, New York, 1990.

  9. B. Pavkovic, D. Veljan: Elementarna matematika 2, Školska knjiga, Zagreb, 1995.

  10. H. E. Rose: A Course in Number Theory, Oxford University Press, Oxford, 1995.

  11. W. Sierpinski: Elementary Theory of Numbers, PNW, Warszawa; North Holland, Amsterdam, 1987.

  12. V. Stošić: Matematička natjecanja učenika osnovnih škola, HMD, Element, Zagreb, 1994.

  13. I. M. Vinogradov: Elements of Number Theory, Dover, New York, 1954.


Uvod u teoriju brojeva, skripta
(u pdf formatu)

Dodatni materijali:

Zadatci s natjecanja I
Zadatci s natjecanja II
Zadatci iz teorije brojeva s natjecanja učenika osnovnih škola
Zadatci iz teorije brojeva s natjecanja učenika srednjih škola
Noviji zadatci iz teorije brojeva s natjecanja učenika osnovnih i srednjih škola (7., 8. i 1. razred)
O distribuciji prostih brojeva
Sume kvadrata
Pitagorine trojke


Web forum iz "Teorije brojeva"


Način polaganja ispita:

Tijekom semestra pišu se dva kolokvija (na svakom će maksimalan broj bodova biti 60).
Bit će i dvije domaće zadaće (koje će se bodovati), po jedna u periodu prije prvog kolokvija i periodu između prvog i drugog kolokvija. Na njima će doći zadatci istog tipa kao oni provježbani na vježbama. Rok za predaju će biti tjedan dana. Maksimalan broj bodova na svakoj zadaći je 10.
Na vježbama redovito, a na predavanjima povremeno, zadavat će se zadatci za samostalno rješavanje. Studenti koji budu najuspješniji u rješavanju tih zadataka, dobit će u pravilu za svaki zadatak po 5 bodova. Maksimalan broj bodova koji će se moći sakupiti u ovoj komponenti je 20. Sa sakupljenih 10 bodova, studenti će se moći osloboditi završnog ispita.
Završni ispit je usmeni; provjerava se razumijevanje sadržaja obrađenog na predavanjima. Uvjet za pristup završnom ispitu je ukupno barem 50 bodova prikupljenih na 2 kolokvija, domaćim zadaćama i aktivnostima na nastavi. Maksimalan broj bodova koji je moguće dobiti na završnom ispitu je 40. Studenti koji kroz aktivnosti na nastavi sakupe barem 10 bodova ne moraju izaći na završni ispit, već mogu uzeti ocjenu dobivenu na osnovu 2 kolovija, domaćih zadaća i aktivnosti na nastavi.
Popraviti se može najviše jedan od kolokvija ili završni ispit. Nakon drugog kolokvija piše se popravak kolokvija na kojem studenti mogu pisati ili popravak prvog ili popravak drugog kolokvija. Nema uvjeta za izlazak na taj popravak. Studenti koji nisu zadovoljni rezultatom završnog ispita i koji nisu pisali popravak kolokvija, mogu izaći na popravni završni ispit. Taj ispit bi bio u istom terminu kad i završni ispit za studente koji su pisali popravak kolokvija.
Zaključivanje ocjene: Zbrojit će se bodovi iz 1. kolokvija (max. 60), 2. kolokvija (max. 60), rješavanja domaćih zadaća (max. 20), aktivnosti na nastavi (max. 20) i završnog ispita (max.40). (Studentima koji budu oslobođeni završnog ispita, zbrojit će se bodovi iz prve 4 komponente.)
Ocjene: ≥ 85% ocjena 5; ≥ 70% ocjena 4; ≥ 55% ocjena 3; ≥ 40% ocjena 2; < 40% ocjena 1.


Kolokviji

12.5.2006. grupa A (pdf);   grupa B (pdf);   rezultati

9.6.2006. grupa A (pdf);   grupa B (pdf);   rezultati

2.5.2008. grupa A (pdf);   grupa B (pdf);   grupa C (pdf);   grupa D (pdf);   rezultati

4.7.2008. grupa A (pdf);   grupa B (pdf);   grupa C (pdf);   grupa D (pdf);   rezultati

30.4.2009. grupa A (pdf);   grupa B (pdf);   grupa C (pdf);   grupa D (pdf);   rezultati

3.7.2009. grupa A (pdf);   grupa B (pdf);   grupa C (pdf);   grupa D (pdf);   rezultati

16.4.2010. grupa A (/pdf);   grupa B (pdf);   grupa C (pdf);   grupa D (pdf);   rezultati

11.6.2010. grupa A (pdf);   grupa B (pdf);   grupa C (pdf);   grupa D (pdf);   rezultati


Neki (korisni) linkovi

Number Theory Web (održava Keith Matthews)
Teorija brojeva na sveučilištima širom svijeta
Number Theory Listserver Archives
Software packages of interest to number theory
Teorija brojeva - kolegij na inžinjerskom smjeru (Andrej Dujella)
Kriptografija - izborni kolegij (Andrej Dujella)
Algoritmi za eliptičke krivulje - poslijediplomski kolegij (Andrej Dujella)
Teorija brojeva u kriptografiji - poslijediplomski kolegij (Andrej Dujella)
Diofantske jednadžbe - poslijediplomski kolegij (Andrej Dujella)
Seminar za teoriju brojeva i algebru (poslijediplomski)
Popis dostupne literature iz teorije brojeva
Diophantine m-tuples page (Andrej Dujella)
High rank elliptic curves with prescribed torsion (Andrej Dujella)
The Prime Pages (Chris Caldwell)
The ABC Conjecture Home Page (Abderrahmane Nitaj)
The Fibonacci Numbers (Ron Knott)
Hrvatski matematički elektronski časopis math.e

Web stranice nekih kolegija iz teorije brojeva:

Elementary Number Theory (William Stein)
Elementary Number Theory (Michael Filaseta)
Elementary Number Theory (William Chen)
Distribution of Prime Numbers (William Chen)
Number Theory (Pete L. Clark)
Introduction to Analytic Number Theory (Noam Elkies)
Introduction to Algebraic Number Theory (William Stein)
Algebraic Number Theory (Jim Milne)

Andrej Dujella home page