Nastava na daljinu

• Prezentacije za nastavu sukcesivno ću nadograđivati sa komentarima koje inače kažem na predavanju.
• Za svaki termin predavanja navest ću što je u planu napraviti od predavanja, a što od zadataka.
• Za izradu zadataka instalirajte si open source software Scilab ili Octave.
• Kada napravite zadatke, pošaljite mi ih mailom, isto tako bilo kakva pitanja vezana uz zadatke postavite mi putem maila.
• U terminu predavanja, utorkom od 12.00 do 16.00 bit ću uz laptop i odgovarat ću promptno na vaša pitanja, tako da iskoristite to vrijeme za naš kolegij.

Obavijesti i zadaci uz konkretne termine

• 17.3.2020. - Svi studenti koji to nisu molim da mi pošalju riješene sljededeće zadatke iz prezentacije Modeli s primjenama numeričke linearne algebre
  • Rizik i očekivani povrat portfelja, str. 6-11.
  • Disipacija topline elektroničke komponente, str 12-18.
  • Orbita asteroida, str. 19-21.
  Novi zadaci koje bismo trebali napraviti ovaj tjedan su:
  • Numeričko rješavanje Poissonove jednadžbe, str 22-25, pri čemu su grafovi relativnih normi reziduala i slika rješenja prikazani ispod.
    
    
    
  • Kreditni razred, str. 26-36, pri čemu je animirani graf iteracija prikazan ispod.
    
    
    
  • Sistem masa s elastičnim oprugama, str. 37-42, pri čemu su animirani graf iteracija i graf reziduala prikazani ispod.
    
    
    
• 24.3.2020. - Svi studenti koji to nisu molim da mi pošalju riješene sljededeće zadatke iz prezentacije Modeli s primjenama numeričke linearne algebre
  • Rizik i očekivani povrat portfelja, str. 6-11. - zadnji rok
  • Disipacija topline elektroničke komponente, str 12-18. - zadnji rok
  • Orbita asteroida, str. 19-21. - zadnji rok
  • Numeričko rješavanje Poissonove jednadžbe, str 22-25.
  • Kreditni razred, str. 26-36.
  • Sistem masa s elastičnim oprugama, str. 37-42.
  Novi zadaci koje bismo trebali napraviti ovaj tjedan su:
  • Problem totalnih najmanjih kvadrata (Problem dekonvolucije), str. 43-51, pri čemu su egzaktno rješenje i aproksimativno izračunato rješenje prikazani ispod.
    
    
    Što mislite, što se dogodilo sa aproksimacijom rješenja? Što nam to govori o osjetljivosti samog problema na perturbacije ulaznih podataka?
  • Računanje gustoće podzemnih stijena (Krnja dekompozicija singularnih vrijednosti), str 52-57, pri čemu su singularne vrijednosti, te grafovi egzaktnog i aproksimativnih rješenja prikazani ispod.
    
    
    
  Iz prezentacije Modeli s diferencijalnim jednadžbama proučite malo teorije o Eulerovoj metodi, Runge-Kutta metodama, i Konvergenciji jednokoračnih metoda str. 2-29, i riješite zadatke:
  • Implementacija Eulerove metode, str. 30-32, pri čemu su aproksimativno i egzaktno rješenje prikazani ispod, a greška iznosi erre = 0.1539.
  • Implementacija RK4 metode, str. 33-34, pri čemu su aproksimativno i egzaktno rješenje prikazani ispod, a greška iznosi errrk = 2.3929e-005.
    
    
    
• 31.3.2020. - Svi studenti koji to nisu molim da mi pošalju riješene sljededeće zadatke iz prezentacija Modeli s primjenama numeričke linearne algebre i Modeli s diferencijalnim jednadžbama
  • Numeričko rješavanje Poissonove jednadžbe, str 22-25. - zadnji rok
  • Kreditni razred, str. 26-36. - zadnji rok
  • Sistem masa s elastičnim oprugama, str. 37-42. - zadnji rok
  • Problem totalnih najmanjih kvadrata (Problem dekonvolucije), str. 43-51
  • Računanje gustoće podzemnih stijena (Krnja dekompozicija singularnih vrijednosti), str 52-57
  • Implementacija Eulerove i RK4 metode, str. 30-34
  Proučite teoriju o Runge-Kutta-Fehlbergovoj metodi i o Implicitnoj trapeznoj metodi, str. 35-57, i riješite zadatke:
  • Implementacija Runge-Kutta-Fehlbergove metode, str. 42-44, pri čemu je broj iteracija za postizanje tražene točnosti iznosi 37, najveća apsolutna greška u čvorovima za Runge-Kutta-Fehlbergovu metodu iznosi errrk23 = 2.396077567982102e-004, a za Runge-Kutta metodu reda 2 iznosi errrk22 = 0.175675033781870, te graf egzaktnog i aproksimativnog rješenja je prikazan ispod.
    
    
    Runge-Kutta-Fehlbergova metoda je upravo pogodna za rješenja jednadžbi koje naglo mijenjaju trend, poput rješenja sa špicom u ovom primjeru.
  • Implementacija Implicitne trapezne metode, str. 53-57, pri čemu grške u točci 1 iznose
    n = 20, greska implicitne metode je : -1.742067e-006, greska Runge-Kutta metode : 5.838591e+017
n = 30, greska implicitne metode je : -7.741451e-007, greska Runge-Kutta metode : 6.730965e+009
n = 40, greska implicitne metode je : -4.354356e-007, greska Runge-Kutta metode : -9.619678e-006
n = 50, greska implicitne metode je : -2.786725e-007, greska Runge-Kutta metode : -1.364334e-005
    Grafovi egzaktnog i aproksimativnih rješenja prikazani su ispod.
    
    
    
    Ukoliko u Octave-u ne funkcionira rad sa simboličkim izrazima derivaciju dg izračunajte sami.
• 7.4.2020. - Svi studenti koji to nisu molim da mi pošalju riješene sljededeće zadatke iz prezentacija Modeli s primjenama numeričke linearne algebre i Modeli s diferencijalnim jednadžbama
  • Problem totalnih najmanjih kvadrata (Problem dekonvolucije), str. 43-51 - zadnji rok
  • Računanje gustoće podzemnih stijena (Krnja dekompozicija singularnih vrijednosti), str 52-57 - zadnji rok
  • Implementacija Eulerove i RK4 metode, str. 30-34 - zadnji rok
  • Implementacija Runge-Kutta-Fehlbergove metode, str. 42-44
  • Implementacija Implicitne trapezne metode, str. 53-57
  Proučite teoriju o Linearnim višekoračnim metodama i Prediktor-korektor paru, str. 58-81, i riješite zadatak:
  • Implementacija para prediktora i korektora, str. 79-81, pri čemu za n=30 i m=3 greška iznosi erre = 9.4295e-004, a za n=300 i m=3 greška iznosi erre = 1.7720e-007. Greška jako malo varira povećanjem broja iteracija korektora m. Grafovi egzaktnog i aproksimativnih rješenja za ta dva izbora ulaznih parametara prikazani su ispod.
    
    
    
  Riješite sljedeće Primjere iz primjene:
  • Termička obrada metalne šipke, str. 82-91, pri čemu su grafovi aproksimativnih rješnja prikazani ispod.
    
    
    Na temelju grafova možemo zaključiti da je Runge-Kutta-Fehlbergova metoda ispala točnija na ovom primjeru.
  • Model grabežljivca i plijena, str. 92-97, pri čemu su grafovi aproksimativnih rješnja prikazani ispod.
    
    
    
• 14.4.2020. - Svi studenti koji to nisu molim da mi pošalju riješene sljededeće zadatke iz prezentacije Modeli s diferencijalnim jednadžbama
  • Implementacija Runge-Kutta-Fehlbergove metode, str. 42-44 - zadnji rok
  • Implementacija Implicitne trapezne metode, str. 53-57 - zadnji rok
  • Implementacija para prediktora i korektora, str. 79-81
  • Termička obrada metalne šipke, str. 82-91
  • Model grabežljivca i plijena, str. 92-97
  Riješite sljedeći Primjer iz primjene:
  • Mehanički sustav, str. 98-104, pri čemu su grafovi aproksimativnih rješnja prikazani ispod.
    
    
    
  Proučite teoriju o Rubnim problemima za običnu diferencijalnu jednadžbu str. 105-107, i o Jednostavnoj metodi gađanja str. 108-129, i riješite zadatke:
  • Rješavanje rubnog problema iz primjera metodom gađanja, str. 130-131,
  • Rješavanje rubnog problema iz primjera metodom gađanja sa egzaktnim Newtonovim iteracijama, str. 132,
  pri čemu ova dva zadatka predajete zajedno da možemo usporediti broj iteracija. Npr. za slučaj kada je n=100
  • s0=-4, funkcija odj_gadjanje_2rru() vratila je s=-8.000000043665573 u 6 iteracija, a funkcija odj_gadjanje_2rru_en() vratila je s=-8.000000043665573 isto u 6 iteracija,
  • s0=-20, funkcija odj_gadjanje_2rru() vratila je s=-35.858551986023571 u 5 iteracija, a funkcija odj_gadjanje_2rru_en() vratila je s=-35.858551986023592 isto u 5 iteracija.
  Probajte naći primjere ulaznih parametara kada se postižu različiti brojevi iteracija.
• 21.4.2020. - Svi studenti koji to nisu molim da mi pošalju riješene sljededeće zadatke iz prezentacije Modeli s diferencijalnim jednadžbama
  • Implementacija para prediktora i korektora, str. 79-81 - zadnji rok
  • Termička obrada metalne šipke, str. 82-91 - zadnji rok
  • Model grabežljivca i plijena, str. 92-97 - zadnji rok
  • Mehanički sustav, str. 98-104
  • Rješavanje rubnog problema iz primjera metodom gađanja, str. 130-131
  • Rješavanje rubnog problema iz primjera metodom gađanja sa egzaktnim Newtonovim iteracijama, str. 132
  Riješite zadatak:
  • Rješavanje linearnog rubnog problema metodom gađanja, str. 133-136, pri čemu za n=100 rješenje se dobiva za inicijalne vrijednosti
    s=[2.5975, 0.3733, -1.2098]'.
  Proučite teoriju o Metodi kolokacije str. 137-156, i riješite zadatke:
  • Implementacija de Boor-Coxove rekurzije str. 157,
  • implementacija funkcije koja računa matricu i desnu stranu linearnog sustava za dobivanje koeficijenata u metodi kolokacije str. 158,
  • implemetacija de Boorove rekurzije str. 159, i
  • primjer koji se rješava pomoću metode kolokacije str. 160-162, pri čemu maksimalna greška u kolokacijskim točkama iznosi 0.0072, a graf egzaktog i aproksimativnog rješenja je prikazan ispod.
    
    
    
  Kao ilustracija funkcija baze prostora S, njihove glatkoće i nosača, na sljedećim slikama nalaze se grafovi B_i,3 za i=0,1,2,3,4,9,10,11,12, za prethodni primjer.
  
  
  
  
  
• 28.4.2020. - Svi studenti koji to nisu molim da mi pošalju riješene sljededeće zadatke iz prezentacije Modeli s diferencijalnim jednadžbama
  • Mehanički sustav, str. 98-104
  • Rješavanje rubnog problema iz primjera metodom gađanja, str. 130-131 - zadnji rok
  • Rješavanje rubnog problema iz primjera metodom gađanja sa egzaktnim Newtonovim iteracijama, str. 132 - zadnji rok
  • Rješavanje linearnog rubnog problema metodom gađanja, str. 133-136
  • Rješavanje rubnog problema metodom kolokacije str. 157-162
  Proučite teoriju o Metodi konačnih diferencija str. 163-170, i riješite zadatke:
  • Implementirajte funkciju koja računa matricu i desnu stranu sustava za metodu konačnih diferencija str. 171,
  • riješite rubni problem pomoću metode konačnih diferencija str. 172-173, pri čemu maksimalna greška u rubovima podintervala iznosi 0.0353, a graf egzaktog i aproksimativnog rješenja je prikazan ispod.
    
    
    
  Riješite sljedeći Primjer iz primjene:
  • Distribucija temperature unutar cilindra str. 174-181, pri čemu za n=100 rješenje se dobiva za inicijalnu vrijednost s=0.2391, a graf aproksimativnog rješenja je prikazan ispod.
    
    
    Napomena: Ukoliko ovaj primjer pokušate riješiti metodom gađanja na standardni način rješenje će se sastojati od samih NaN-ova, jer će odmah u prvom koraku RK4 metode doći do dijeljenja sa nulom.
• 5.5.2020. - Svi studenti koji to nisu molim da mi pošalju riješene sljededeće zadatke iz prezentacije Modeli s diferencijalnim jednadžbama
  • Rješavanje linearnog rubnog problema metodom gađanja, str. 133-136 - zadnji rok
  • Rješavanje rubnog problema metodom kolokacije str. 157-162 - zadnji rok
  • Rješavanje rubnog problema konačnim diferencijama str. 171-173
  • Distribucija temperature unutar cilindra str. 174-181
  Iz prezentacije Diskretna Fourierova transformacija proučite teoriju o Trigonometrijskoj interpolaciji str. 3-21, i o Brzoj Fourierovoj transformaciji (FFT) str. 22-32, te riješite zadatke:
  • Implementacija funkcije koja obrće znamenka binarnog broja str. 33,
  • implementacija FFT algoritma str. 34,
  • implementacije funkcije koja implementira FFT algoritam i vraća koeficijente trigonometrijskog polinoma str. 35,
  • implementacija Hornerove sheme za fazni polinom str. 36, i
  • primjer trigonometrijske interpolacije i interpolacije faznim polinomom str. 37-38, pri čemu su koeficijenti faznog polinoma
    beta = [ 0.3133, 0.1350 - 0.1692i, 0.0364 - 0.0918i, 0.0313 - 0.0504i, 0.0312 - 0.0326i, 0.0312 - 0.0215i, 0.0312 - 0.0133i, 0.0312 - 0.0063i, 0.0312, 0.0312 + 0.0063i, 0.0312 + 0.0133i, 0.0312 + 0.0215i, 0.0312 + 0.0326i, 0.0313 + 0.0504i, 0.0364 + 0.0918i, 0.1350 + 0.1692i ]
    a koeficijenti trigonometrijskog polinoma
    A = [ 0.6267 0.2700 0.0728 0.0626 0.0625 0.0625 0.0625 0.0625 0.0625 ]
    B = [ 0 0.3384 0.1835 0.1009 0.0652 0.0430 0.0265 0.0127 ]
    te maksimalna greška faznog polinoma u interpolacijskim točkama e = 3.2789e-015. Graf funkcije i interpolacijskih točaka na faznom polinomu prikazan je ispod, a na njemu se nalazi i graf interpolacijskog trigonometrijskog polinoma koji će biti rješenje zadatka od idućeg puta.
    
    
    
• 12.5.2020. - Svi studenti koji to nisu molim da mi pošalju riješene sljededeće zadatke iz prezentacije Modeli s diferencijalnim jednadžbama i Diskretna Fourierova transformacija
  • Rješavanje rubnog problema konačnim diferencijama str. 171-173 - zadnji rok
  • Distribucija temperature unutar cilindra str. 174-181 - zadnji rok
  • Rješavanje trigonometrijskog interpolacijskog problema pomoću FFT-a str. 33-38
  Iz prezentacije Diskretna Fourierova transformacija proučite teoriju o Generaliziranoj Hornerovoj shemi str. 39-40, o Izvrednjavanju rekurzivno zadanih funkcija str. 41-42, i o Izvrednjavanju trigonometrijskih polinoma str. 43-52, te riješite zadatke:
  • Implementacija generalizirane Hornerove sheme za trigonometrijski polinom str. 53,
  • izvrednjavanje trigonometrijskog polinoma na primjeru str. 54, pri čemu je graf trigonometrijskog polinoma prikazan na prethodnom grafu.
  Riješite sljedeći Primjer iz primjene:
  • Spektralna analiza str. 55-61, pri čemu je maksimalna frekvencija phimax = 128, a grafovi uzorka signala bez šuma i njegovi izračunati koeficijenti interpolacijskog faznog i trigonometrijskog polinom prikazani su ispod.
    
    
    Primijetite da je funkcija g(t) koja generira signal i sama trigonometrijski polinoma pa morate dobiti koeficijente koji su već zadani u njenoj samoj definiciji. Grafovi uzorka signala sa šumom i njegovi izračunati koeficijenti interpolacijskog faznog i trigonometrijskog polinom prikazani su ispod.
    
    
    I dalje se na grafovima koeficijenata vide "šiljci" na istim mjestima kao i kod signala bez šuma.
• 19.5.2020. - Svi studenti koji to nisu molim da mi pošalju riješene sljededeće zadatke iz prezentacije Diskretna Fourierova transformacija
  • Rješavanje trigonometrijskog interpolacijskog problema pomoću FFT-a str. 33-38 - zadnji rok
  • Primjena generalizirane Hornerove sheme za trigonometrijski polinom na primjeru str. 53-54
  • Spektralna analiza str. 55-61
  Iz prezentacije Nelinearni sustavi jednadžbi proučite teoriju o Nelinarnim sustavima jednadžbi i Newtonovoj metodi str. 2-6, i riješite zadatke:
  • Implementacija modificirane Newtonove metode str. 7,
  • rješavanje primjera sustava str. 8-9, pri čemu
    • za x₀=[1.5,2]^T obična Newtonova metoda izkonvergirala je u 8 koraka, a modificirana u 8,
    • za x₀=[0.5,0.4]^T obična Newtonova metoda stala je nakon 178 koraka sa krivim rješenjem x=[-0.7137,1.2209]^T, dok je modificirana Newtonova metoda izkonvergirala u 10 koraka.
  Riješite sljedeći Primjer iz primjene:
  • Grijanje ploče sa zaštitnim slojem str. 10-11, pri čemu je modificirana Newtonova metoda izkonvergirala u 8 koraka a rješenje je
    x=[1.0504e+004, 671.1240, 6.2222e+003, 481.0273]^T.
• 26.5.2020. - Svi studenti koji to nisu molim da mi pošalju riješene sljededeće zadatke iz prezentacije Diskretna Fourierova transformacija i Nelinearni sustavi jednadžbi
  • Primjena generalizirane Hornerove sheme za trigonometrijski polinom na primjeru str. 53-54 - zadnji rok
  • Spektralna analiza str. 55-61 - zadnji rok
  • Rješavanje nelinearnog sustava modificiranom Newtonovom metodom str. 7-9
  • Grijanje ploče sa zaštitnim slojem str. 10-11
  Molim kolege koji to još nisu obavili da odaberu završni projektni zadatak. Detalje oko polaganja kolegija objavit ću kad se usuglase nova pravila ocjenjivanja.
  Iz prezentacije Nelinearni sustavi jednadžbi proučite teoriju o Računanju minimuma funkcije i gradijentnoj metodi str. 12-28, te riješite zadatak
  • Implementacija gradijentne metode str. 29-30,
  i primjer iz primjene
  • Optimalni smještaj tvornice str. 31-33, pri čemu je za počtnu aproksimaciju x0=[50,50]^T gradijentna metoda izkonvergirala u 34 koraka, rješenje iznosi x=[41.1606,34.6843]^T, norma gradijenta od f u rjesenju x iznosi 5.52669e-011, a graf nivo skupova na kvadratu [-100,100] x [-100,100] i graf zumiranog područja sa aproksimacijama u koracima metode prikazani su ispod. Točka minimuma označena je crnim kružićem.