Elementarna matematika 1

Ovo su web stranice kolegija Elementarna matematika 1 koji slušaju studenti prve godine preddiplomskog sveučilišnog studija Matematika kao obavezni kolegij.

Kolegij se održava u zimskom semestru, a nastava se sastoji od tri sata predavanja i tri sata vježbi svakog tjedna.

Glavni cilj ovog kolegija je "premostiti" prazninu između nivoa srednjoškolske matematike i matematike koje se predaje na sveučilištu. Studenti će se upoznati s osnovama matematičkog jezika i mišljenja te sistematizirati i produbiti već stečeno znanje o skupovima (brojeva), relacijama i funkcijama. Poseban naglasak će biti stavljen na pojmove kongruencije i djeljivosti. Drugi cilj je detaljno ponoviti polinome (jedne i više varijabli) i racionalne funkcije te uvesti neke nove pojmove vezane uz njih. Polinomi će biti proučavani koristeći algebarski pristup.

Sadržaj kolegija

  • Uvod. Kratki pregled povijesnog razvoja matematike i osnovnih matematičkih disciplina. Grčki alfabet.
  • Oblici matematičkog mišljenja. Matematički pojam. Definicija pojma. Aksiom. Teorem i njegov obrat. Logički veznici i sudovi. Nužan i dovoljan uvjet. Obrat suda. Obrat po kontrapoziciji. Suprotni sud. Negacija implikacije. Osnovna pravila izvoda. Osnovne vrste dokaza.
  • Skupovi. Pojam skupa. Podskup. Jednakost skupova. Univerzalni skup. Zadavanje skupova. Partitivni skup. Booleova algebra. Particija skupa. Kartezijev produkt skupova.
  • Relacije. Pojam relacije. Parcijalni uređaj. Uređaj. Relacija ekvivalencije. Klase ekvivalencije. Kvocijentni skup.
  • Osnovno o skupovima brojeva (oznake): prirodni, cijeli, racionalni, realni i kompleksni brojevi. Aksiom matematičke indukcije. Binomna formula.
  • Primjeri relacija. Djeljivost. Kongruencije. Neke relacije u geometriji i njihova svojstva.
  • Funkcije. Pojam funkcije. Domena, kodomena i slika funkcije. Praslika. Graf funkcije. Jednakost funkcija. Restrikcija i proširenje funkcije.
  • Injekcija. Surjekcija. Bijekcija. Permutacija skupa. Kompozicija funkcija. Inverzna funkcija.
  • Ekvipotentni skupovi. Pojam ekvipotentnih skupova. Kardinalni broj skupa. Konačni i beskonačni skupovi. Prebrojivi i neprebrojivi skupovi.
  • Polinomi u jednoj varijabli. Kvadratna funkcija. Prsten polinoma. Teorem o nul-polinomu. Teorem o jednakosti polinoma. Djeljivost polinoma. Hornerova shema. Najveća zajednička mjera polinoma.
  • Nultočke polinoma i algebarske jednadžbe (posebno trećeg i četvrtog stupnja). Trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Moivreove formule.
  • Osnovni teorem algebre. Interpolacijski polinom. Cjelobrojni i racionalni korijeni algebarske jednadžbe. Kompleksni korijeni algebarske jednadžbe. Reducibilnost i ireducibilnost polinoma nad C i R. Vieteove formule
  • Racionalne funkcije. Pojam racionalne funkcije. Rastav racionalne funkcije na parcijalne razlomke.
  • Polinomi dviju i više varijabli. Prsten polinoma dviju varijabli. Simetrični polinomi. Osnovni teorem o simetričnim polinomima dviju varijabli. Simetrične jednadžbe. Polinomi više varijabli.

Literatura

  • B. Pavković, D. Veljan: Elementarna matematika 1, Školska knjiga, Zagreb, 2003. (obavezna literatura)
  • B. Pavković, B. Dakić: Polinomi, Školska knjiga, Zagreb, 1991.
  • S. Kurepa: Uvod u matematiku, Tehnička knjiga, Zagreb, 1984.
  • S. Lipschitz: Schaum's Outline of Set Theory and Related Topics, McGraw-Hill, New York, 1998.