Nela Bosner - Numerička analiza (doktorski studij)

Numerička analiza (doktorski studij)

Osnovni podaci o kolegiju

Studij :	Pristupni kolegij zajedničkog sveučilišnog poslijediplomskog doktorskog studija matematike
Godina studija :	1.
Akademska godina :	2013./14.
Broj sati:	60
Termin održavanja predavanja :	ponedjeljak 10.00 - 12.00 (203)
Termin konzultacija :	četvrtak 11.00 - 13.00 (302)

Sažetak kolegija

Ovo je osnovni jednogodišnji kolegij iz Numeričke analize, predviđen kao priprema za doktorski ispit iz Numeričke matematike. U kolegiju se na moderan način izlažu neka klasična područja numeričke analize, s naglaskom na praktičnu primjenu teorijskih rezultata.

Sadržaj kolegija

Greške i stabilnost. Izvori grešaka u numeričkom računanju. Aritmetika računala i greške zaokruživanja. Stabilnost problema i algoritama. Računanje vrijednosti polinoma i nekih elementarnih funkcija u zadanoj točki.
Sustavi linearnih jednadžbi. Direktne metode, Gaussove eliminacije, LU faktorizacija. Pozitivno definitni sustavi, faktorizacija Choleskog. Uvjetovanost linearnih sustava, teorija perturbacija za linearne sustave, analiza stabilnosti algoritama.
Iterativne metode za linearne sustave. Opća teorija iterativnih metoda. Standardne iterativne metode i njihova konvergencija: Jacobijeva, Gauss-Seidelova, JOR i SOR metoda. Optimalni izbor relaksacijskog parametra za posebne sustave. Iteracije iz Krylovljevih potprostora i njihova konvergencija: metoda konjugiranih gradijenata i GMRES metoda.
Matrična formulacija linearnog problema najmanjih kvadrata. Rješavanje problema pomoću QR faktorizacije i dekompozicije singularnih vrijednosti (SVD). Generalizirani inverz.
Problem svojstvenih vrijednosti. Opća teorija za simetrični i nesimetrični svojstveni problem. Svođenje na Hessenbergovu i tridijagonalnu formu. Nesimetrični QR algoritam. Algoritmi za simetrične matrice, klasični Jacobijev algoritam, QR iteracije, moderne metode (pregled). Varijacijske karakterizacije svojstvenih vrijednosti hermitske matrice, teorija perturbacije za hermitske matrice. Algoritmi za računanje dekompozicije singularnih vrijednosti, i njena primjena.
Interpolacija. Interpolacija polinomima, ocjena greške, konvergencija, optimalni izbor čvorova. Hermiteova interpolacija. Numeričko deriviranje. Po dijelovima polinomna interpolacija, linearni i kubični splajn, B-splajnovi. Trigonometrijska i racionalna interpolacija, verižni razlomci.
Aproksimacija. Aproksimacija u raznim normama. Diskretni problem najmanjih kvadrata. Neprekidni problem najmanjih kvadrata. Ortogonalni sustavi funkcija. Ortogonalni polinomi - neprekidni i diskretni. Generalizirana Hornerova shema. Neprekidna i diskretna Fourierova aproksimacija. Minimaks i skoro-minimaks aproksimacija. Izglađivanje podataka.
Numerička integracija. Newton-Cotesove formule. Produljene formule. Trapezna formula za periodičke funkcije, Euler-MacLaurinova formula, Rombergov algoritam. Gaussova integracija.
Rješavanje nelinearnih jednadžbi. Metoda raspolavljanja (bisekcije), jednostavne funkcijske iteracije, Newtonova metoda. Opća teorija iteracijskih funkcija s jednom točkom. Metoda sekante.
Numeričko rješavanje običnih diferencijalnih jednadžbi. Inicijalni problemi. Jednokoračne metode, eksplicitna i implicitna Eulerova metoda, Runge-Kutta metode, implicitna trapezna metoda. Višekoračne metode, prediktor-korektor parovi. Opća teorija linearnih diferencijskih shema, konzistencija, stabilnost, konvergencija (kratki pregled).
Numeričko rješavanje parcijalnih diferencijalnih jednadžbi. Rubni problemi, diskretizacija pomoću konačnih razlika. Neki praktični problemi i česte jednadžbe u praksi. Konačne razlike u vremenskoj i prostornim varijablama. Paraboličke jednadžbe, eksplicitna, implicitna i Crank-Nicolsonova metoda. Eliptički problemi, Laplaceova i Poissonova jednadžba na pravokutniku, diferencijske sheme. Usporedba iterativnih metoda za diskretnu Poissonovu jednadžbu na kvadratu. Multigrid metode.

Literatura

K. E. Atkinson: An Introduction to Numerical Analysis, Second Edition, John Wiley & Sons, New York, 1988.
S. C. Brenner, L. R. Scott: The mathematical theory of finite element methods, Springer 1994.
P. G. Ciarlet: Introduction to numerical linear algebra and optimisation. Cambridge University Press, Cambridge 1989.
J. W. Demmel: Applied Numerical Linear Algebra, SIAM, Philadelphia, 1997.
W. Gautschi: Numerical Analysis, An Introduction, Birkhäuser, Boston, 1997.
G. Golub and C. F. Van Loan: Matrix computations. The John Hopkins University Press, Baltimore 1989.
N. J. Higham: Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, Second Edition, SIAM, Philadelphia, 2002.
J. Stoer, R. Bulirsch: Introduction to Numerical Analysis, Second Edition, Texts in Applied Mathematics 12, Springer Verlag, New York, 1992.
C. de Boor: A Practical Guide to Splines, Revised Edition, Springer, New York, 2001.

Dodatna literatura

W. Cheney, D. Kincaid: Numerical Mathematics and Computing, Fourth Edition, Brooks/Cole, Pacific Grove, 1999.
R. M. M. Mattheij, S. W. Rienstra, J. H. M. ten Thije Boonkkamp: Partial Differential Equations: Modeling, Analysis, Computation, SIAM, Philadelphia, 2005.
A. Ralston, P. Rabinowitz: A First Course in Numerical Analysis, Second Edition, McGraw-Hill, Singapore, 1978.
M. Schatzman: Numerical Analysis, A Mathematical Introduction, Oxford University Press, Oxford, 2002.
E. Isaacson, H. B. Keller: Analysis of Numerical Methods, Wiley, New York, 1966.

Pristupni ispit

Popis tema za ispit iz Numeričke analize.

Predavanja

1. Predavanje [04.11.2013.] - Primjeri grešaka iz prakse
2. Predavanje [11.11.2013.] - Vrste grešaka i primjeri, prikaz brojeva u računalu
- Dodatak - Prikaz realnih brojeva, "floating-point" standard
3. Predavanje [18.11.2013.] - Greške zaokruživanja u aritmetici i njihovo širenje, primjeri
4. Predavanje [25.11.2013.] - Greške unazad i unaprijed, numerički stabilni algoritmi, uvjetovanost problema, primjeri
5. Predavanje [02.12.2013.] - Teorija linearnih sustava, rješavanje linearnih sustava pomoću direktnih metoda
- Dodatak - Detalji Gaussovih eliminacija
6. Predavanje [09.-16.12.2013.] - Numerička analiza Gaussovih eliminacija, primjer nestabilnosti Gaussovih eliminacija s parcijalnim pivotiranjem, rješavanje linearnih sustava pomoću iterativnih metoda, primjeri
7. Predavanje [23.12.2013.-13.01.2014.] - Rješavanje linearnih sustava pomoću iteracija iz Krylovljevih potprostora: metoda konjugiranih gradijenata, GMRES metoda, primjeri
8. Predavanje [13.-20.01.2014.] - Matrična formulacija linearnog problema najmanjih kvadrata i njeno rješavanje pomoću QR faktorizacije, računanje QR faktorizacije pomoću Givensovih rotacija i Householderovih reflektora
9. Predavanje [20.-27.01.2014.] - Svojstveni problem i kanonske forme, svođenje na Hessenbergovu formu, nesimetrični QR algoritam bez i sa pomacima
10. Predavanje [03.02.2014.] - Algoritmi za računanje svih svojstvnih vrijednosti simetričnih matrica: Jacobijeva algoritam i "podijeli pa vladaj", algoritam za svojstvene vrijednosti simetričnih matrica u danom intervalu: algoritam bisekcije i inverzne iteracije
11. Predavanje [03.-10.02.2014.] - Lokacija svojstvenih vrijednosti, varijacijske karakterizacije svojstvenih vrijednosti hermitskih matrica, multiplikativne perturbacije hermitskih matrica
12. Predavanje [10.02.2014.] - Dekompozicija singularnih vrijednosti (SVD), računanje SVD-a i njegova primjena
13. Predavanje [17.02.2014.] - Uvod u aproksimaciju i interpolaciju, interpolacija polinomima
14. Predavanje [24.02.2014.] - Interpolacija polinomima (nastavak), Hermiteova interpolacija
- Dodatak - Interpolacija funkcijskih vrijednosti i prve derivacije
15. Predavanje [03.03.2014.] - Polinomna splajn interpolacija
- Dodatak - Po djelovima linearna interpolacija, po dijelovima kubična interpolacija, kubična splajn interpolacija, primjeri
16. Predavanje [10.03.2014.] - Diskretna i neprekidna metoda najmanjih kvadrata, ortogonalne funkcije (polinomi)
17. Predavanje [17.03.2014.] - Svojstva ortogonalnih polinoma, računanje vrijednosti funkcija, generalizirana Hornerova shema, primjeri
18. Predavanje [24.03.2014.] - Besselove funkcije i Millerov algoritam, izglađivanje podataka
19. Predavanje [31.03.2014.] - Verižni razlomci i Thieleova racionalna interpolacija
20. Predavanje [07.04.2014.] - Numerička integracija, Newton-Cotesove formule
21. Predavanje [28.04.2014.] - Numerička integracija, Rombergov algoritam, Gaussove formule
22. Predavanje [05.05.2014.] - Gaussove formule, rješavanje nelinearnih jednadžbi: bisekcija i regula farsi
23. Predavanje [12.05.2014.] - Rješavanje nelinearnih jednadžbi: Newtonova metoda, metoda sekante, metode za višestruke nultočke; primjeri
24. Predavanje [19.-26.05.2014.] - Numeričko rješavanje običnih diferencijalnih jednadžbi - inicijalni problem: Eulerova metoda, Runge-Kutta metode, implicitna trapezna metoda, linearne višekoračne metode
25. Predavanje [02.06.2014.] - Numeričko rješavanje paraboličkih i eliptičkih parcijalnih diferencijalnih jednadžbi pomoću konačnih razlika

Zadaće

1. Zadaća - rok predaje je 13.01.2014. - Napomena: U 1. zadatku uočena je pogreška kod ocjene greške za dijeljenje. Pokušajte ju ispraviti.
2. Zadaća - rok predaje je 03.03.2014.
3. Zadaća - rok predaje je 31.05.2014., zadaće treba slati na tinab@math.hr

Korisni linkovi

Kolegij iz 2012. godine
Kolegij iz 2011. godine
Kolegij iz 2009. godine - profesora Saše Singera
"Srednja" skripta iz Numeričke analize
"Velika" skripta iz Numeričke analize

Nela Bosner : nela@math.hr

Glavna stranica

Znanost

Nastava

Ostalo