Andrej Dujella: Teorija brojeva - Errata et addenda

Popis korekcija i dodatnih komentara za sveučilišni udžbenik Teorija brojeva, Školska knjiga, prvo izdanje, 2019.

1.2 Princip matematičke indukcije

Str. 9, redak 2: U zadnjoj sumi u ovom redku nedostaje binomni koeficijent n+1 povrh k. (Hvala Jagoru Tambači.)

1.3 Fibonaccijevi brojevi

Str. 14, redak 9: Iza 1.10 i 1.13 ne treba doći točka.

2.1 Najveći zajednički djeljitelj

Str. 24, redak 6: Treba pisati ... slijedi da postoje cijeli brojevi x i y takvi da je ...

2.3 Prosti brojevi

Str. 32, redak 13: Umjesto "ako n nije djeljiv" treba pisati "ako a nije djeljiv".

Str. 36, redak 12: Trenutno najveći Fermatov broj za koji se zna da je složen je f_18233954 (njegov prosti faktor 7 × 2^18233956 + 1 je pronađen u listopadu 2020.).

3.1 Definicija i svojstva kongruencija

Str. 42, redak 15: Umjesto "a + kn" treba pisati "a + km". (Hvala Ivici Gusiću.)

3.4 Kineski teorem o ostatcima

Str. 48: Umjesto "iz prvog stoljeća" treba pisati "iz trećeg stoljeća".

3.6 Kongruencije po prostom modulu

Str. 59, redak 10: Umjesto "(p - 1)x^p-2" treba pisati "(p - 1)x_i^p-2". (Hvala Ivici Gusiću.)

3.9 Pseudoprosti brojevi

Str. 73, redak 7: Umjesto "djeljiv s p" treba pisati "djeljiv s p_i". (Hvala Sunben Chiu.)

Str. 73, redak 10 odozdo: Na dva mjesta, umjesto "ν₂(p - 1)" treba pisati "ν₂(p_i - 1)".

Str. 74, redak 9 odozdo: Prvi znak "=" treba zamijeniti s "≤". (Hvala Zrinki Franušić.)

4.4 Jacobijev simbol

Str. 93, redak 9: Drugi znak Σ treba zamijeniti s ∏.

Str. 93, redak 14: U prvom produktu, umjesto p treba pisati P.

4.5 Djeljivost Fibonaccijevih brojeva

Str. 95, redak 18: Umjesto "prema Primjeru 4.12" treba pisati "prema Propoziciji 4.12". (Hvala Alejandri Alvarado.)

Str. 96, zadnji redak: Umjesto "iz Korolara 4.16.(iii)" treba pisati "iz Korolara 4.16.(i)". (Hvala Tomislavu Pejkoviću.)

4.6 Zadatci

Str. 100, redak 9 odozdo: Treći dio Zadatka 16 treba biti "c)" umjesto "b)". (Hvala Alejandri Alvarado.)

Str. 101, redak 11 odozdo: U Zadatku 25.a), umjesto F_n+1^m treba pisati F_n+1^m-1. (Hvala Alejandri Alvarado.)

5.1 Sume dvaju kvadrata

Str. 105, redak 8: Treba pisati: gdje su svi prosti faktori ...

5.2 Pozitivno definitne kvadratne forme

Str. 108: U Definiciji 5.2, treba pisati: Kažemo da binarna kvadratna forma f ...

5.3 Sume četiriju kvadrata

Str. 117, redak 9 odozdo: Umjesto y = 2y₂ treba pisati y = 2y₁.

5.4 Sume triju kvadrata

Str. 124, redak 12: Umjesto "ostatci pri dijeljenju brojeva" treba pisati "brojevi".

6.2 Multiplikativne funkcije

Str. 135: Na početku Primjera 6.7 treba dodati "Neka je x ≥ 1.".

7.1 Elementarne ocjene za funkciju π(x)

Str. 157, redak 10: Umjesto "n ≠ 0" treba pisati "n ≥ 0".

7.2 Čebiševljeve funkcije

Str. 158, redak 8 odozdo: Nedostaje točka na kraju retka.

7.4 Dirichletovi karakteri

Str. 171, redak 14: Umjesto "n ≡ 3 mod 4" treba pisati "n ≡ 3 (mod 4)".

Str. 172, redak 4: Umjesto p^α_t treba pisati p_t^α_t.

Str. 175, redak 8 odozdo: Umjesto "ostatka" treba pisati "neostatka".

8.4 Verižni razlomci i aproksimacija iracionalnih brojeva

Str. 204: Umjesto "Drugi dokaz Hurwitzova teorema 5.7" treba pisati "Drugi dokaz Hurwitzova teorema 8.9". (Hvala Zrinki Franušić.)

8.6 Periodski verižni razlomci

Str. 216, redak 7: Treba brisati zadnji zarez u "a, b, c, ∈".

8.7 Newtonovi aproksimanti

Str. 222, redak 5 odozdo: Umjesto "razvoj racionalnog broja" treba pisati "razvoj iracionalnog broja".

8.10 Zadatci

Str. 240, Zadatak 9: Umjesto "p_o/q_o" treba pisati "p₀/q₀".

9.2 Kriptosustav RSA

Str. 248, redak 9 odozdo: Budući da je u studenom 2019. faktoriziran broj RSA-240 (s 240 znamenaka), trebalo bi "250 znamenaka" zamijeniti s "300 znamenaka".

9.6 Zadatci

Str. 262, Zadatak 15: Iza "c₃ = 468" treba stajati zarez umjesto točke.

10.3 Pellova jednadžba

Str. 279, redak 11 odozdo: Umjesto (x₁-dy₁²)ⁿ treba pisati (x₁²-dy₁²)ⁿ. (Hvala Alejandri Alvarado.)

Str. 284, zadnji redak: Umjesto ((x₁+y₁√d)/2)² treba pisati (x₁+y₁√d)²/2. (Hvala Clemensu Fuchsu.)

10.4 Verižni razlomci i Pellova jednadžba

Str. 286, redak 10: Nedostaje zatvorena zagrada nakon "(vidjeti [252, Poglavlje 3.2]".

Str. 287, redak 11: Umjesto "algoritamom" treba pisati "algoritmom".

10.5 Pelovska jednadžba

Str. 293, redak 10 odozdo: Umjesto "broj rješenja" treba pisati "broj klasa rješenja". (Hvala Borisu Široli.)

10.7 Ternarne kvadratne forme

Str. 309, redak 15: Umjesto "(x,y,z)" treba pisati "(x,y,w)".

10.9 Zadatci

Str. 320, Zadatak 14: Umjesto n ≠ 3 treba pisati n ≥ 3. (Hvala Alejandri Alvarado.).

Str. 322, Zadatak 34: Umjesto 5 · (-1)ⁿ treba pisati 5 · (-1)ⁿ⁺¹. (Hvala Alejandri Alvarado.).

11.1 Djeljivost polinoma

Str. 326, redak 7 i redak 9: Umjesto "m, n nisu" treba pisati "f, g nisu". (Hvala Antoneli Trbović.)

11.2 Korijeni polinoma

Str. 334, redak 6: Na četiri mjesta treba umjesto a pisati α.

Str. 336, redak 11 odozdo: Umjesto "determinante" treba pisati "diskriminante".

11.4 Dekompozicija polinoma

Page 344, line -10: Umjesto "počevši od drugog" treba pisati "počevši od trećeg". (Hvala Mihaiu Cipuu.)

11.5 Simetrični polinomi

Str. 351, redak 5: Umjesto "nakon dijeljenja a" treba pisati "nakon dijeljenja s". (Hvala Antoneli Trbović.)

Str. 351, redak 14: Na kraju retka, umjesto zareza treba stajati točka.

12.1 Kvadratna polja

Str. 360, redak 14 i redak 16: Umjesto "u² - dy²" treba pisati "u² - dv²". (Hvala Lovri Sindičiću.)

Str. 360: U zadnjoj rečenici u Korolaru 12.8. treba pisati:
Ako je x₁+y₁√d fundamentalno rješenje Pellove jednadžbe x² - dy² = 1, onda je x₁+y₁√d = (a + b√d)^ν, gdje je ν ∈ {1,2}, ili x₁+y₁√d = ((a + b√d)/2)^ν, gdje je ν ∈ {3,6}.
(Hvala Clemensu Fuchsu.)

12.5 Jedinice i klase ideala

Str. 386, redak 7 odozdo: Umjesto "svim nul-idealima" treba pisati "svim ne-nul idealima". (Hvala Antoneli Trbović.)

12.6 Zadatci

Str. 388, zadatak 4: Zadnja zagrada umjesto "(1-2√3)" treba biti "(1-2√-3)". (Hvala Antoneli Trbović.)

13.4 Aproksimacija kvadratnim iracionalnostima

Str. 404: U članku
J. Schleischitz, Diophantine approximation in prescribed degree, Mosc. Math. J. 18 (2018), 491-516
je dokazano da se u Teoremu 13.11, može uzeti da su algebarski brojevi β stupnja točno 2.

14.1 Thueova jednadžba

Str. 420, zadnji redak: Treba dodati rješenje (-1,1). (Hvala Alejandri Alvarado.)

14.2 Tzanakisova metoda

Str. 424, redak 15: Umjesto "jednadžba 14.13" treba pisati "jednadžba (14.13)" (nedostaju zagrade).

14.3 Linearne forme u logaritmima

Str. 427, redak 18 i 20: Umjesto "α_n+1" treba pisati "ln α_n+1".

14.4 Baker-Davenportova redukcija

Str. 434, redak 7 odozdo: Umjesto "Neka je κ iracionalan broj" treba pisati "Neka je κ realan broj". (Hvala Attili Pethőu.)

14.5 LLL-redukcija

Str. 437, redak 10: Umjesto "LLL-algoritamom" treba pisati "LLL-algoritmom".

Str. 439, redak 18: Treba brisati "8.57 je".

14.6 Diofantove m-torke

Str. 441: Umjesto "Diofant Aleksandrijski (III. st. prije Krista)" treba pisati "Diofant Aleksandrijski (III. st.)". (Hvala Lovri Čupiću.)

Str. 446, redak 5 odozdo: Umjesto "svaki cijeli broj n ≥ 0" treba pisati "svaki cijeli broj n ≠ 0".

Str. 447, redak 10: Umjesto "a_j a_j + n_m" treba pisati "a_i a_j + n_m". (Hvala Lajosu Hajduu.)

Str. 447, redci 13-20: Napomenimo da je u članku
K. Chakraborty, S. Gupta, A. Hoque, On a conjecture of Franusic and Jadrijevic: Counter-examples, Results Math. 78 (2023), Article 18,
pokazano da u nekim prstenima oblika Z[√4k+2] postoje elementi z koji nisu razlika dva kvadrata, ali postoji D(z)-četvorka (eksplicitni primjeri su dani za z = 26 + 6√10 u Z[√10] te z = 18 + 2√58 u Z[√58]).

Str. 447:
Trenutni broj referenci na web stranici [88] https://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/dtuples.html je 517.

15.1 Uvod u eliptičke krivulje

Str. 457, redak 14: Umjesto "Weiestrassovoj formi" treba pisati "Weierstrassovoj formi".

15.3 Torzijska grupa

Str. 473, redak 5 odozdo: Umjesto "Mazurovim teorem" treba pisati "Mazurovim teoremom".

Str. 476, redak 9 odozdo: Umjesto "Weiestrassove jednadžbe" treba pisati "Weierstrassove jednadžbe".

15.4 Kanonska visina i Mordell-Weilov teorem

Str. 487: U Primjeru 15.8, na dva mjesta umjesto h^{^}(2ⁿP) treba pisati h(2ⁿP).

15.5 Rang eliptičke krivulje

Str. 494, redak 8: Ispred "Budući" umjesto zareza treba stajati točka.

Str. 503:
U tablici s rekordnim rangovima, za torzijsku grupu Z/2Z × Z/4Z umjesto Dujella & Peral (2012.) treba pisati Dujella & Peral (2012., 2019.), Klagsbrun (2020). Detalji za krivulju Dujella & Peral (2019.) dani su u članku:
A. Dujella, J. C. Peral, Construction of high rank elliptic curves, J. Geom. Anal., to appear.
Nekoliko prethodnih rekorda je nedavno poboljšano ili dostignuto metodama opisanima u članku:
N. D. Elkies, Z. Klagsbrun, New rank records for elliptic curves having rational torsion, Proceedings of the Fourteenth Algorithmic Number Theory Symposium, Mathematical Sciences Publishers, Berkeley, 2020, pp. 233-250.
Tako da u tablici, za torzijsku grupu Z/2Z treba 19 zamijeniti s 20 te Elkies (2009.) zamijeniti s Elkies & Klagsbrun (2020.),
za torzijsku grupu Z/3Z treba 14 zamijeniti s 15 te Elkies (2018.) zamijeniti s Elkies & Klagsbrun (2020.),
za torzijsku grupu Z/4Z treba 12 zamijeniti s 13 te Elkies (2006.), Dujella & Peral (2014.) zamijeniti s Elkies & Klagsbrun (2020.),
za torzijsku grupu Z/5Z treba 8 zamijeniti s 9 te Dujella & Lecacheux (2009.), Eroshkin (2009.) zamijeniti s Klagsbrun (2020.),
za torzijsku grupu Z/6Z treba 8 zamijeniti s 9 te navedene autore krivulja s rangom 8 zamijeniti s Klagsbrun (2020.), Voznyy (2020.),
za torzijsku grupu Z/7Z treba 5 zamijeniti sa 6 te navedene autore krivulja s rangom 5 zamijeniti s Klagsbrun (2020.).
Za torzijsku grupu Z/2Z × Z/6Z treba dodati Dujella & Peral (2020.).
Za torzijsku grupu Z/9Z treba dodati Dujella & Petričević (2021.) i Dujella, Petričević & Rathbun (2022.).
Za torzijsku grupu Z/8Z treba dodati Voznyy (2021.).
Za torzijsku grupu Z/2Z × Z/8Z treba dodati AttarBashi, Rathbun & Voznyy (2022.), AttarBashi, Fisher, Rathbun & Voznyy (2022.), AttarBashi, Fisher & Voznyy (2022), te Rathbun (2003., 2006.) zamijeniti s Rathbun (2003., 2006., 2013.).
Ažurni podatci se nalaze na web stranici [89] https://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/tors/tors.html.

Str. 504: Dodatne beskonačne familije s rangom ≥ 3 i torzijskom grupom Z/8Z ili Z/2Z × Z/6Z, te eksperimenti koji sugeriraju da bi moglo postojati beskonačno mnogo krivulja s ovim torzijskim grupama i rangom ≥ 4, mogu se naći u članku
A. Dujella, M. Kazalicki, J. C. Peral, Elliptic curves with torsion groups Z/8Z and Z/2Z × Z/6Z, Rev. R. Acad. Cienc. Exactas Fis. Nat. Ser. A Math. RACSAM 115 (2021), Article 169, (24pp).

15.7 Eliptičke krivulje nad konačnim poljima

Str. 517, redci 3 i 4 odozdo; str. 518, redci 1 i 3: Umjesto "E(F_q)" treba pisati "E(F_q)" (algebarsko zatvorenje od F_q). (Hvala Marinu Varivodi.)

15.8 Primjena eliptičkih krivulja u kriptografiji

Str. 527, redak 19: U kolovozu 2022. godine, Castryck i Decru su predložili efikasan napad na SIDH u članku:
W. Castryck, T. Decru, An efficient key recovery attack on SIDH (preliminary version), Cryptology ePrint Archive, Report 2022/975, 2022. http://eprint.iacr.org/2022/975.

15.10 Faktorizacija s pomoću eliptičkih krivulja

Str. 535, redak 3: Voznyy je 2021. pronašao eliptičku krivulju nad kvadratnim poljem Q(√190) ranga 2 s torzijskom grupom Z/15Z. Tako da je sada poznato da za svaku od 26 grupa iz (15.43) postoji krivulja nad nekim kvadratnim poljem s tom torzijskom grupom i rangom ≥ 2. Trenutni rekordni rangovi za svih 26 grupa mogu se naći na web stranici http://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/tors/torsquad.html.

16.3 Primjena faktorizacije u kvadratnim poljima

Str. 544, redak 8 odozdo: Umjesto "faktori na desnoj strani" treba pisati "faktori na lijevoj strani". (Hvala Mihaiu Cipuu.)

16.5 Transformacija eliptičkih krivulja u Thueove jednadžbe

Str. 550, redak 9: Umjesto "izmožimo" treba pisati "izmnožimo".

16.5 Algoritam za rješavanje Thueove jednadžbe

Str. 552, redak 9 odozdo: Umjesto "Seigelov identitet" treba pisati "Siegelov identitet". (Hvala Mihaiu Cipuu.)

Str. 555, redak 10 odozdo: Može se brisati "±".

Str. 555, redak 7 odozdo: Treba pisati: ... promatrane Thueove jednadžbe ...

16.7 Diofantove m-torke i eliptičke krivulje

Str. 563:
Još dvije konstrukcije beskonačnih familija racionalnih Diofantovih šestorki dane su u člancima:
A. Dujella, M. Kazalicki, V. Petričević, Rational Diophantine sextuples with square denominators, J. Number Theory 205 (2019), 340-346.
A. Dujella, M. Kazalicki, V. Petričević, Rational Diophantine sextuples containing two regular quadruples and one regular quintuple, Acta Mathematica Spalatensia 1 (2021), 19-27.

Str. 567:
Još jedna beskonačna familija skupova koji su istodobno D(n₁) i D(n₂)-četvorke za n₁ ≠ n₂, i to s dodatnim svojstvom da su svi elementi četvorke kvadrati (pa je to i D(0)-četvorka), dana je u članku:
A. Dujella, V. Petričević, Doubly regular Diophantine quadruples, Rev. R. Acad. Cienc. Exactas Fis. Nat. Ser. A Math. RACSAM 114 (2020), Article 189, (8pp).
U članku
A. Dujella, M. Kazalicki, V. Petričević, D(n)-quintuples with square elements, Rev. R. Acad. Cienc. Exactas Fis. Nat. Ser. A Math. RACSAM 115 (2021), Article 172, (10pp)
dokazano je da postoji beskonačno mnogo D(n)-petorki čiji su svi elementi kvadrati (pa je to i D(0)-petorka). Jedan takav primjer je D(480480²)-petorka {225², 286², 819², 1408², 2548²}.

Bibliografija

Referenca [3] objavljena je u časopisu:
N. Adžaga, On the size of Diophantine m-tuples in imaginary quadratic number rings, Bull. Math. Sci. 11(1) (2021) 1950020 (10 pages).

Referenca [115] objavljena je u časopisu:
A Dujella, V. Petričević, Diophantine quadruples with the properties D(n₁) and D(n₂), Rev. R. Acad. Cienc. Exactas Fis. Nat. Ser. A Math. RACSAM 114 (2020), Article 21 (9 pages).

U referenci [121] nakon "Element" treba dodati "Zagreb".

U referenci [152 treba pisati "Hindry" umjesto "Hidry".

Referenca [232] objavljena je u časopisu:
J. Park, B. Poonen, J. Voight, M. M. Wood, A heuristic for boundedness of ranks of elliptic curves, J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 21 (2019), 2859-2903.

U referenci [276] treba pisati "J. Steuding" umjesto "J. Steudings".

Referenca [281] objavljena je u časopisu:
M. Stoll, Diagonal genus 5 curves, elliptic curves over Q(t), and rational diophantine quintuples, Acta Arith. 190 (2019), 239-261.

U referenci [296] treba pisati "N. N. Vorobiev" umjesto "N. V. Vorobiev".

Errata et addenda za drugo izdanje, 2024.

Komentare, primjedbe i sugestije u vezi knjige možete poslati na e-mail adresu duje@math.hr. Posebno ću biti zahvalan svima koji ukažu na nedostatke ili moguće pogreške u knjizi.