Ispredavano gradivo po tjednima

1. tjedan (20. 2. 2012)
Induktivna definicija determinante kvadratne matrice koristeći Laplaceov razvoj po prvom retku. Determinanta kao normirana multilinearna alternirajuća funkcija. Računaje determinante elementarnim transformacijama. Skup od n vektora u Rn je baza ako i samo ako im je determinanta različita od nule. Osnovni teorem o determinanti. (Točke 6.3.1 – 6.5.6, str. 132 – 142.)
2. tjedan (27. 2. 2012)
Cramerovo pravilo. Binet-Cauchyjev teorem. Orijentacija baze u Rn. Determinanta i grupa permutacija. Determinanta transponirane matrice. Laplaceov razvoj. Gramova determinanta i k-volumen paralelotopa u Rn. (Točke 6.6.1 – 6.6.3, str. 142 – 142 i točke 9.9.1 – 9.5.5, str. 193 – 205.) Domaća zadaća: Izračunati volumen nekog paralelepipeda u R4 i dokazati teorem 9.5.1.
3. tjedan (5. 3. 2012)
Linearna preslikavanja s Rn u Rm. Linearna preslikavanja zadana matricom i matrica linearnog preslikavanja. Množenje matrice i vektora. Kompozicija linearnih preslikavanja i množenje matrica (ponavljanje: točke 7.1.1 - 7.6.11, str. 153 - 167). Zbrajanje linearnih preslikavanja i množenje linearnog preslikavanja skalarom, te pripadne operacije na matricama. (Točke 10.1.1 – 10.1.14, str. 207 – 211.) Domaća zadaća: Raspisati dokaz bilinearnosti množenja linearnih operatora.
4. tjedan (12. 3. 2012)
Vektorski prostori matrica i linearnih operatora. Algebra kvadratnih matrica i linearnih operatora. Algebra gornjih trokutastih matrica i algebra dijagonalnih matrica. Kompleksni brojevi kao realne 2×2 matrice. Kvaternioni kao kompleksne 2×2 matrice. (Točke 10.1.1 – 10.2.25 i 10.4.1 – 10.5.10, str. 207 – 218 i 222 - 226.) Domaća zadaća: Dokazati da donje trokutaste matrice čine algebru.
5. tjedan (19. 3. 2012)
Linearne surjekcije i injekcije s Rn u Rm. Teorem o rangu i defektu. Regularni operatori i inverzne matrice. Invertiranje matrice Gauss-Jordanovim transformacijama. Opća linearna grupa GL(n, R). Matrice permutacija. (Točke 8.0.1 – 8.4.9, str. 171 – 183.) Domaća zadaća: Invertirajte neku 3×3 matricu.
6. tjedan (26. 3. 2012)
Koordinate vektora u uređenoj bazi. Matrica linearnog operatora u paru baza. Matrica kompozicije je produkt matrica operatora. Promjena koordinata vektora s promjenom baze. Promjena matrice operatora s promjenom para baza. Jednako orijentirane baze na realnom vektorskom prostoru. (Točke 8.6.1 – 8.6.20, str. 185 – 191.) Domaća zadaća: Zadajte neki linearni operator u kanonskoj bazi od R2 i nađite mu matricu u bazi u paru baza ((1,1), (1,-1)) i ((1,0),(1,1)).
7. tjedan (2. 4. 2012)
Svojstveni polinom, svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori kvadratne matrice i linearnog operatora. Problem dijagonalizacije operatora. (Točke 11.1.1 – 11.2.16, str. 231 – 239.)
8. tjedan (16. 4. 2012)
Svojstveni polinom, svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori kvadratne matrice i linearnog operatora. Linearna nezavisnost svojstvenih vektora za različite svojstvene vrijednosti. Eksponencijalna funkcija. Homogeni linearni sistemi diferencijalnih jednadžbi prvog reda. Svojstveni vektori i rješenja diferencijalnih jednadžbi. Dijagonalizacija operatora i Cauchyjev problem. (Točke 11.2.1 – 11.3.15, str. 234 – 245.) Domaća zadaća: Riješite sistem jednadžbi x'(t)=-y(t), y'(t)=x(t) za proizvoljan početni uvjet (x(0), y(0))=C.
9. tjedan (23. 4. 2012)
Eksponencijalna funkcija operatora na realnom i kompleksnom prostoru definirana pomoću reda. Opće rješenje homogenog linearnog sistema diferencijalnih jednadžbi prvog reda s početnim uvjetom. Jordanov rastav operatora na poluprosti i nilpotentni dio i računanje eksponencijalne funkcije f(t)=exp(tA) (informativno, bez dokaza).
10. tjedan (4. 5. 2012)
Hermitski adjungirani operator. Svojstva hermitskog adjungiranja. Teorem o dijagonalizaciji hermitskog operatora na kompleksnom prostoru. (Točke 12.1.1 – 12.2.8, str. 247 – 252.) Domaća zadaća: Dokažite egzistenciju hermitski adjungiranog operatora (točka 12.1.5).
11. tjedan (7. 5. 2012)
Teorem o dijagonalizaciji hermitskog operatora na realnom prostoru. Antihermitski operatori. Hermitske kompleksne 2×2 matrice i veza s kvaternionima. Kvadratne forme na Rn. Dijagonalizacija kvadratne forme. (Točke 12.2.1 – 12.2.22, str. 251 – 256.)
12. tjedan (14. 5. 2012)
Unitarne i ortogonalne matrice i operatori. Grupe unitarnih i ortogonalnih matrica. Grupe O(1), SO(1), U(1), SU(1), O(2), SO(2), U(2) i SU(2). (Točke 12.3.1 – 2.3.11, str. 256 – 259.)
13. tjedan (21. 5. 2012)
Grupa rotacija SO(3). Eulerovi kutevi. (Točke 12.3.12 – 2.3.21, str. 260 – 263.)
14. tjedan (28. 5. 2012)
Ponavljanje i priprema za 2. kolokvij.