Predloženi projekt će koordinirati i podržati istraživačke aktivnosti hrvatske grupe iz teorije brojeva. Teme istraživanja su: Diofantove m-torke i primjene, diofantske aproksimacije (separacija korijena, p-adski verižni razlomci), eliptičke krivulje i modularne forme. Nedavno su Dujella, Kazalicki, Mikić i Sziksai pokazali da postoje beskonačno mnogo racionalnih Diofantovih šestorki, te riješili problem koji je bio otvoren još od vremena Eulera. Planiramo proučiti geometriju tih šestorki kako bi utvrdili postojanje racionalnih Diofantovih sedmorki. Ti će rezultati biti korišteni za konstrukciju familija eliptičkih krivulja visokog ranga i fiksne torzije. Važan alat za proučavanje Mordell-Weil grupa je algoritam za injektivnost preslikavanja specijalizacije koju su razvili Gusić i Tadić koje namjeravamo generalizirati. Planiramo dokazati neke posebne slučajeve slutnje o regularnosti Diofantovih četvorki i proučavati taj fenomen u parametarskim familijama. Također ćemo razmotriti generalizacije na prstenove cijelih brojeva u poljima kao i općenitije D (n) -m-torke. Freitas, Le Hung i Siksek su nedavno dokazali da su sve eliptičke krivulje nad realnih kvadratnim poljima modularne. Planiramo proučavati modularnost na potpuno realnim kubnim poljima. Kazalicki i Kohen nedavno su otkrili vezu između ranga eliptičnih krivulja i nultočki pridruženih modularnih formi (mod p). Planiramo ovo dalje proučiti i povezati s rezultatima Mazur i Swinnerton-Dyer o analitičkom rangu eliptičkih krivulja. Najpopularniji kriptosustav s javnim ključem danas u upotrebi je RSA. Proučavajući diofantske aproksimacije planiramo razviti neke učinkovite napade na ovaj kriptosustav. Rezultati istraživanja bit će objavljeni u uglednim časopisima i predstavljeni na međunarodnim konferencijama. Ovim će se projektom produbiti naše znanstvene veze s međunarodnim grupama iz teorije brojeva te uvesti mlade znanstvenike u istraživanje.