[Prethodna tema]   [Sljedeća tema]  

2.2. Hardy-Ramanujanov problem taksija

Problem taksija je dobio ime po jednoj anegdoti vezanoj za matematičare G. H. Hardyja i Srinivasa Ramanujana. Dok je indijski matematičar Ramanujan bio u bolnici u Londonu, u posjet mu je došao njegov kolega Hardy. Hardy je spomenuo da je stigao s taksijem broj 1729, te dodao kako je taj broj sasvim nezanimljiv. No, Ramanujan mu je odmah odgovorio da se s njim ne slaže, jer da je 1729 vrlo zanimljiv broj, a kao razlog je naveo da je to najmanji prirodan broj koji se može prikazati kao zbroj kubova dva prirodna broja na dva različita načina. Zaista,

1729 = 93 + 103 = 13 + 123.

Sada se možemo pitati postoji li prirodan broj koji se kao zbroj dvaju kubova može prikazati na tri različita načina, ili općenito na M različitih načina. Odgovor na to pitanje je potvrdan i dan je u sljedećem teoremu.

Teorem: Za svaki prirodan broj M postoji prirodan broj m takav da jednadžba x3 + y3 = m ima barem M cjelobrojnih rješenja.

Dokaz: Promotrimo krivulju C zadanu jednadžbom

x3 + y3 = 9.

Tvrdimo da ona ima beskonačno mnogo racionalnih točaka. Jedna očita racionalna točka je (1,2). Pomoću biracionalnih transformacija

s = 12 / (x + y),   t = 12(x - y) / (x + y)

dobivamo da je krivulja C biracionalno ekvivalentna eliptičkoj krivulji E koja ima jednadžbu

t2 = s3 - 48.

Pritom točki (1,2) na C odgovara točka P = (4,4) na E. Postavlja se pitanje da li je točka P konačnog ili beskonačnog reda. Izračunajmo prvih nekoliko višekratnika od P. Imamo: [2] P = (28, -148), [3] P = (73/9, 595/27). Poznato je (to se zove Lutz-Nagellov teorem) da točke konačnog reda imaju cjelobrojne koordinate. Stoga je P točka beskonačnog reda, pa krivulje E i C imaju beskonačno mnogo racionalnih točaka.

Neka je sada M zadani prirodni broj. Izaberimo na krivulji C nekih M racionalnih točaka Q1, Q2, ... , QM. Lako se vidi da prva i druga koordinata tih točaka imaju jednake nazivnike. Dakle, točke su oblika Qi = (ai / di, bi / di). Mi želimo iz racionalnih točaka na krivulji C dobiti cjelobrojna rješenja na nekoj krivulji oblika x3 + y3 = m. Pa definirajmo m = 9(d1d2 ... dM)3. Sada na krivulji x3 + y3 = m leži M cjelobrojnih točaka čije se koordinate dobiju množenjem koordinata točaka Qi (i = 1, ... , M) s produktom d1d2 ... dM. QED



Možemo se pitati koji je najmanji prirodni broj m koji se može prikazati kao suma kubova dvaju prirodnih brojeva na M različitih načina. Taj broj se zove M-ti taksi-broj i označava se sa Ta(M). Trivijalno je Ta(1) = 2 = 13 + 13. Već smo spomenuli da je Ta(2) = 1729. Poznato je još da vrijedi

Ta(3) = 87539319 = 1673 + 4363 = 2283 + 4233 = 2553 + 4143,

Ta(4) = 6963472309248 i Ta(5) = 48988659276962496.

Zadatci:

  1. Broj 48988659276962496 prikažite na pet različitih načina kao zbroj kubova dva prirodna broja.

  2. Iz x3 + y3 = m, supstitucijom s = - 4xy, t = 8x3 - 4m se dobiva eliptička krivulja

    E :         t2 = s3 + 16m2.

    Neka je m = Ta(4) = 6963472309248. Pronađite točku reda 3 na krivulji E. Nađite što više cjelobrojnih točaka na ovoj eliptičkoj krivulji.

  3. Nađite barem jedan (po mogućnosti što manji) prirodan broj koji se može prikazati kao zbroj kubova dva prirodna broja na barem šest različitih načina.

[Prethodna tema]   [Sljedeća tema]  
Web stranica seminara Andrej Dujella - osobna stranica