Uspore~divanje skupova
"S" Rekli smo da ~te nam za skupove biti jedino bitno je li
neki objekt njihov element ili nije. Dakle, identitet skupa
S sastoji se
(samo) u tome je li za proizvoljni objekt x, x@S
ili nije. To zna~ci da ako se skupovi A i B za
svaki x sla~zu u odgovorima na pitanje je li x
njihov element, tad to zapravo i nisu dva skupa, ve~t jedan te isti
skup.
No to uklju~cuje neograni~cenu univerzalnu kvantifikaciju po
x. Mo~zemo pro~ti i bez toga, ovako:
D Neka su A i B skupovi. Ka~zemo da
je A podskup od B ako je svaki element od
A ujedno element od B. Skupovi A
i B su jednaki ako je istodobno A
podskup od B i B podskup od A.
Skupovi su razli~citi ako nisu jednaki. Skup A je
pravi podskup od B ako je podskup, a uz
to su razli~citi.
A C= B :<=> (A_x@A)(x@B)
A = B :<=> A C= B & B C= A <=> (A_x)(x@A<=>x@B)
A != B :<=> !(A=B) <=> (E_x)(x@AVx@B)
A C B :<=> A C= B & A != B <=> (A_x@A)(x@B) & (E_x@B)!(x@A)
S ~Cesto trebamo dokazivati jednakosti me~du skupovima
(zapravo me~du bilo kakvim matemati~ckim objektima ~ svi se oni mogu
shvatiti kao skupovi). To ~cinimo tako da prvo doka~zemo jednu inkluziju
(npr. lijeva strana je podskup desne), a zatim drugu (desna je podskup
lijeve). Skupovne inkluzije dokazujemo tako da po~demo od proizvoljnog
elementa npr. lijeve strane, i zapi~semo sve ~sto iz toga mo~zemo
zaklju~citi o tom elementu. Nakon toga iz tog ~sto smo popisali
o njemu poku~samo izvesti zaklju~cak da je on ujedno element i desne
strane. Jedan od brojnih primjera je ovaj
dokaz.
1Z Ispi~site sve podskupove skupa S:={1,2,3}.
Rj Skup je odre~den svojim odgovorima na pitanje "je li
x element" za svaki x, no podskup od
S o~cito na takva pitanja treba odgovarati samo za elemente
od S, dakle brojeve 1 , 2 i 3 . Mogu~tnosti za tri da-ne
odgovora na takva pitanja ima 8 , pa i podskupova mora biti 8 .
0, {1}, {2}, {3},
{1,2}, {2,3}, {1,3},
{1,2,3}.
D Prvi skup na gornjem popisu je skup bez elemenata, skup koji
na svako pitanje tipa "je li x element" odgovara nije~cno.
Takav skup zove se prazan skup i ozna~cava s 0.
(Na Njegov "antipod", skup koji bi na svako takvo pitanje
odgovarao pozitivno,
ne postoji ~ Russellov
paradoks.)
D Skupove koje smo popisali u gornjem zadatku mo~zemo
objediniti u novi skup, skup ~ciji su elementi podskupovi od
S. Op~tenito, skup svih podskupova nekog skupa
S zove se partitivni skup od S i
ozna~cava s P(S).
P(S) :<=> {A ; A C= S}
P Dakle rje~senje gornjeg zadatka se mo~ze zapisati i kao P({1,2,3})={0,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
.
D Za kona~can skup A, broj elemenata u skupu
A ozna~cava se s card A.
P
card{1,4,6}=3 & card 0=0 & card P({1,2,3})=8.
Op~tenito, za kona~can skup (i ne samo za njih, ali to je ve~t
jedna druga pri~ca) A, vrijedi
card P(A)=2card A.