Ure~deni parovi i Kartezijev produkt

"D" Ure~den par nekih dvaju objekata x i y definira se kao novi objekt (x,y), kojeg ~cine x i y, s tim da se zna koji je prvi, a koji drugi (za razliku od skupa {x,y}, kojeg tako~der ~cine x i y, ali pritom poredak nije bitan ~ {x,y}={y,x}).
Pp Dakle, dva ure~dena para su jednaka ako imaju jednake prve komponente, i jednake druge komponente: (a,b)=(c,d) <=> a=c & b=d .
D (Samo za jako znati~zeljne) Rekli smo da se u matematici gotovo sve mo~ze definirati preko skupova, pa tako i ure~den par. Definicija je (x,y):={{x},{x,y}}. Koriste~ti tu definiciju, i definiciju jednakosti skupova, doka~zite gornju propoziciju.
P Ako je a != b, tada je (a,b) != (b,a).
D Kartezijev produkt dva skupa A i B definira se kao skup svih ure~denih parova kojima je prva komponenta iz A, a druga iz B: A x B := {(x,y) ; x@A & y@B} .
P Ako je A={x,y} & B={1,2,3}, AxB={x,y}x{1,2,3} = {(x,1),(x,2),(x,3),(y,1),(y,2),(y,3)}
O Kartezijev produkt je multiplikativna operacija, i time ve~teg prioriteta nego aditivne operacije poput unije i presjeka. Dakle, P AuBxC zna~ci Au(BxC).
Z Je li Kartezijev produkt (a)komutativan, (b)asocijativan?
Rj (a) Nije. Komutativnost je univerzalna tvrdnja, pa je dovoljno na~ti kontraprimjer za obaranje. Npr. {1}x{2}={(1,2)}, ~sto je razli~cito od {2}x{1}={(2,1)} ~ (1,2) je element prvog skupa, a drugog nije, jer je razli~cit od (2,1) zbog 2 != 1.
(b) Nije. ({1}x{2})x{3}={(1,2)}x{3}={((1,2),3)} != {(1,(2,3))}={1}x({2}x{3}) (((1,2),3)!=(1,(2,3)) zbog (1,2)!=1).
Z Doka~zite distributivnost Kartezijevog produkta prema uniji:Ax(BuC) = AxB u AxC . Rj Trebamo dokazati jednakost dvaju skupova. To dokazujemo tako da doka~zemo da je jedan podskup, a zatim i nadskup drugoga. Prvo dokazujemo da je lijeva strana podskup desne:
(Ax(BuC) C= AxBuAxC)
Trebamo dokazati da je jedan skup podskup drugoga. To dokazujemo tako da uzmemo proizvoljni element jednog skupa, i doka~zemo da je on i u drugom skupu. Dakle, uzmimo proizvoljni x@Ax(BuC).
x je element kartezijevog produkta skupova A i BuC, dakle x je ure~deni par kojem je prva komponenta iz A, a druga iz BuC: x=(p,q), p@A, q@BuC. Ovo zadnje zna~ci q@B V q@C, odnosno dokaz se ovdje ra~cva na dvije grane. No te dvije grane su potpuno jednakog oblika, i dobivaju se jedna iz druge zamjenom B i C. Dakle, BSOMP q@B.
Iz toga i iz p@A dobivamo (p,q)@AxB, odnosno x@AxB. No AxB C= AxBuAxC, odnosno x je element i od AxBuAxC.
Uzeli smo proizvoljni element iz Ax(BuC), i dokazali smo da je on element od AxBuAxC. Dakle, dokazali smo Ax(BuC) C= AxBuAxC.
(AxBuAxC C= Ax(BuC))
Opet, trebamo dokazati da je jedan skup podskup drugoga. Dakle, uzmemo proizvoljni element (mo~zemo ga zvati x, ali radi izbjegavanja konfuzije s ovim gore nazvat ~temo ga druga~cije) y@AxBuAxC. y je element unije dva skupa, dakle y@AxB V y@AxC. Tu opet imamo ra~cvanje na dvije potpuno izomorfne grane, pa BSOMP y@AxB. Dakle, y je element Kartezijevog produkta A i B, odnosno y=(p,q), p@A, q@B. B je podskup od BuC, pa je dakle q i iz BuC. Iz toga i iz p@A dobivamo y=(p,q)@Ax(BuC), ~sto smo i tra~zili.
Dokazali smo oba smjera, i zaklju~cujemo da gornja dva skupa od kojih smo krenuli, zaista jesu jednaki. QED.
Dz Doka~zite da je Kartezijev produkt distributivan i prema presjeku, razlici i simetri~cnoj razlici skupova.