Kohomologija
(Reading seminar)
Ovo je stranica na kojoj će se nalaziti informacije o neformalnom seminaru "(Ko)homologija" za studente i doktorande.
Literatura koju ćemo okvirno pratiti: I. Moerdijk, M. Groth: Homology, Cohomology i A. Hatcher, Algebraic topology.
Četvrtkom 14.00-16.00 u prostoriji 108.
Voditelj: Matija Bašić.
Članovi: Boris Blagojević, Vlatko Crnković, Josip Novak, Daniel Paleka, Goran Rajić, Leon Starešinić.
Seminar je namijenjen studentima viših godina i doktorandima. Potrebno predznanje: položeni kolegij Difraf.
Prvo predavanje (18.10.2018.): Uvodno predavanje.
- ideja (generalizirane) kohomološke teorije u topologiji i algebri
- ćelijski kompleksi, delta kompleksi i simplicijalni skupovi (Hatcher 97. - 107. stranica)
- simplicijalna homologija
Više o simplicijalnim skupovima.
Drugo predavanje (24.10.2018.): Singularna homologija.
- definicija singularne homologije
- aksiom dimenzije i aksiom aditivnosti
- Hurewiczev homomorfizam (Moerdijk, Groth, prva dva poglavlja)
- slobodne abelove grupe, abelianizacija, adjungirani funktori
- prostor natkrivanja, projektivni prostor
Treće predavanje (8.11.2018.): Egzaktni nizovi (Boris Blagojević).
- jezgra, slika i kojezgra, univerzalno svojstvo
- lema o cijepanju
- kratki egzaktni nizovi abelovih grupa i lančanih kompleksa, ekstenzije
- dugi egzaktni niz u homologiji, lema o zmiji (Moerdijk, Groth, treće poglavlje)
Dodatna literatura za homološku algebru: C. Weiebel, Homological Algebra (prvo poglavlje).
Četvrto predavanje (15.11.2017.): Više grupe homologije.
- produkt simpleksa, shuffle
- lančana homotopija, homotopska kategorija, modelne kategorije, objekt cilindra
- homotopska invarijantnost homologije
- izomorfizam singularne i simplicijalne homologije
Hatcher: 110-119. i 127-131. stranica.
Peto predavanje (29.11.2018.): Mayer Vietorisov niz.
- ekvivalentni načini da se iskaže aksiom isijecanja
- konstrukcija Mayer-Vietorisovog niza
- posljedice
Moerdijk, Groth: 6. poglavlje
Šesto predavanje (6.12.2018.): Dokaz aksioma isijecanja.
- baricentrička subdivizija
- mali lanci
- lema o Lebesgueovom broju
Moerdijk, Groth: 7. poglavlje
Sedmo predavanje (13.12.2018.): Stupanj i lokalni stupanj (Leon Starešinić).
- stupanj preslikavanja S^n->S^n
- stupanj refleksije i antipodalnog preslikavanja
- suspenzija preslikavanja
- lokalni stupanj i formula za stupanj
Hatcher: 134-137. stranica
Osmo predavanje (20.12.2018.): Ćelijska homologija (Daniel Paleka).
- ćelijska homologija
- izomorfizam ćelijske i singularne homologije
- diferencijal za ćelijsku homologiju
- homologija 3-torusa
Hatcher: 137-141. stranica
Deveto predavanje (17.1.2019.): Primjene ćelijske homologije.
- orijentabilne i neorijantabilne plohe genusa g
- aciklički prostori
- homologija projektivnog prostora
Hatcher: 141-144. stranica
Deseto predavanje (23.1.2019.): Ispit.
- ispit se sastoji od šest zadataka: ispit
Jedanaesto predavanje (21.3.2019.): Homologija s koeficijentima.
- homologija s koeficijentima
- tenzorski produkt i Tor za abelove grupe
- teorem o univerzalnim koeficijentima u homologiji
Moerdijk, Groth - Cohomology - 1. i 2. poglavlje
Dvanaesto predavanje (27.3.2019.): Kohomologija.
- Ext za abelove grupe
- teorem o univerzalnim koeficijentima u kohomologiji
- intuitivna interpretacija kohomologije
Moerdijk, Groth - Cohomology - 3. i 4. poglavlje; Hatcher, str. 185-197.
Trinaesto predavanje (4.4.2019.): Produkti i (ko)homologija.
- tenzorski produkt u kategoriji lančanih kompleksa, monooidalne kategorije
- cross produkt, metoda acikličnih modela i Eileberg-Zilber ekvivalencija
- cup produkt
- primjer: orijentabilna 2-mnogostrukost genusa 2
Moerdijk, Groth - Cohomology - 5. poglavlje, Hatcher, str. 206-208.
Četrnaesto predavanje (10.4.2019.): Kohomološki prsten n-torusa i projektivnog prostora
- n-torus
- projektivni prostor
Hatcher, str. 210-217, 222.
Petnaesto predavanje (17.4.2019.): Orijentacija i homologija
- orijentacija na topološkoj mnogostrukosti
- fundamentalna klasa, dokaz egzistencije i jednistvenosti za kompaktne orijentabilne mnogostrukosti
- dvostruko orijentacijsko natkrivanje
Hatcher, str. 230-238; Milnor, appendix A
Šesnaesto predavanje (23.5.2019.): Poincareova dualnost (Daniel Paleka)
- kohomologija s kompaktnim nosačem
- usmjereni kolimesi
- ideja dokaza Poincareove dualnosti
Hatcher, str. 239-249.
Sedamnaesto predavanje (30.5.2019.): Diferencijalne forme na mnogostrukostima (Leon Starešinić)
- diferencijalne forme na mnogostrukosti
- Stokesov teorem
Bredon, poglavlje II.
Osamnaesto predavanje (6.6.2019.): De Rhamova kohomologija (Leon Starešinić)
- de Rhamov teorem
Bredon, poglavlje V.
Devetnaesto predavanje (13.6.2019.): Karakteristične klase (Josip Novak)
- vektorski i glavni svežnjevi
- Stiefel-Whitneyeve klase
Milnor, Stasheff, prvih nekoliko poglavlja
|