Numerička matematika

Ovo su web stranice kolegija Numerička matematika koji slušaju studenti druge godine preddiplomskog sveučilišnog studija Matematika kao obavezni kolegij.

Kolegij se održava u ljetnom semestru, a nastava se sastoji od tri sata predavanja i dva sata vježbi svakog tjedna.

Glavni cilj ovog kolegija upoznavanje studenata s osnovama numeričke matematike. Uvodni dio kolegija vezan je uz metode linearne algebre. Nakon toga slijede klasični problemi aproksimacije funkcija (interpolacija) te numeričko integriranje. Na kraju je dan kratak pregled metoda za rješavanje nelinearnih jednadžbi.

Način polaganja

Elementi ocjenjivanja
  • 50% + 50% - dva kolokvija
  • eventualna završna provjera znanja

Redoviti kolokviji
Tijekom semestra pišu se dva kolokvija. Prvi i drugi kolokvij nose po 50 bodova (oba kolokvija mogu imati dodatne bodove). Na kolokvijima se postavljaju i teorijska pitanja (iz gradiva s predavanja).

Studenti koji ne pristupe nekom od kolokvija tijekom semestra, a svoj izostanak pravovremeno opravdaju na odgovarajući način (npr. medicinskom dokumentacijom), kolokvij će polagati u dogovoru s nastavnicima. Za naknadno polaganje kolokvija student treba predati molbu s dokumentacijom u Urudžbenom zapisniku.

Za prolaznu ocjenu iz kolegija potrebno je ostvariti najmanje 45 bodova na kolokvijima (prvi i drugi zajedno, ili popravni).

Završna provjera znanja
Studenti koji nisu zadovoljni prolaznom ocjenom dobivenom na temelju kolokvija, ili ih na završnu provjeru znanja pozove nastavnik, izlaze na završnu provjeru znanja. Na završnoj provjeri znanja moguće je ostvariti najviše još 25 bodova. Student može svojim neznanjem na završnoj provjeri znanja dobiti i neprolaznu ocjenu iz kolegija.

Popravni kolokvij
Studenti koji su tijekom semestra temeljem bodova iz redovnih kolokvija stekli ukupno barem 10 bodova, a nisu položili kolegij mogu pristupiti popravnom kolokviju. Popravni kolokvij obuhvaća gradivo cijelog kolegija i on nosi barem 100 bodova. Bodovi iz redovnih kolokvija se brišu. Na popravni kolokvij primjenjuje se isto pravilo o prolaznoj ocjeni i završnoj provjeri znanja.

Studentima koji ostvare uvjet za prolaz, ocjena se zaključuje prema sljedećoj skali (računa se zbroj postignutih bodova):

45 - 59 bodovadovoljan (2)
60 - 74 bodovadobar (3)
75 - 89 bodovavrlo dobar (4)
90 - 100 bodovaizvrstan (5)

Sadržaj kolegija

  1. Uvod. Problemi numeričke matematike. Primjeri. Izvori grešaka (greške modela, mjerenja, metode, zaokruživanja). Uvjetovanost problema. Stabilnost algoritma i ocjena greške. Pregled nužnih predznanja iz matematičke analize (Taylorov polinom) i linearne algebre (matrice, norme vektora i matrica).
  2. Rješavanje linearnih sustava. Uvod. Rješavanje linearnih sustava Gaussovim eliminacijama. LR faktorizacija. Osnovni Gaussov algoritam. Veza s LR faktorizacijom. Struktura faktora ako matrica sustava ima strukturu. Primjeri nestabilnosti. Parcijalno i potpuno pivotiranje. Korištenje reziduala. Pozitivno definitne matrice. Faktorizacija Choleskog.
  3. Aproksimacija i interpolacija. Uvod u aproksimaciju. Interpolacija. Lagrangeov interpolacijski polinom. Ocjena pogreške. Podijeljene i konačne razlike. Newtonov oblik interpolacijskog polinoma. Hermitska interpolacija. Optimalni izbor čvorova interpolacije. Čebiševljevi polinomi. Primjer Runge. Numeričko deriviranje. Po dijelovima polinomna interpolacija. Linearni splajn, kubni splajn, ocjena pogreške.
  4. Metoda najmanjih kvadrata. Diskretna metoda najmanjih kvadrata. Normalne jednadžbe i karakterizacija rješenja. QR faktorizacija. Householderovi reflektori. Givensove rotacije. Primjena QR faktorizacije u diskretnoj metodi najmanjih kvadrata. Neprekidni problem najmanjih kvadrata i integralni skalarni produkti. Prednost ortogonalnih funkcija.
  5. Ortogonalni polinomi i generalizirana Hornerova shema. Hornerova shema. Ortogonalni polinomi, osnovna svojstva, tročlana rekurzija. Računanje linearne kombinacije ortogonalnih funkcija. Računanje Fourierovog reda.
  6. Numeričko integriranje. Opći oblik integracijskih formula. Osnovne Newton–Cotesove formule i ocjena pogreške. Integracijske formule iz interpolacijskog polinoma, svojstva težina. Gaussove formule, svojstva čvorova i težina, ocjena pogreške. Konvergencija Gaussovih formula.
  7. Rješavanje nelineranih jednadžbi. Metoda bisekcije. Analiza konvergencije. Newtonova metoda, lokalna i globalna konvergencija, brzina konvergencije. Metoda sekante. Metoda fiksne točke (kontrakcije), konvergencija, primjena na konstrukciju metoda višeg reda za rješavanje jednadžbi. Primjeri.
  8. Uvod u optimizaciju bez ograničenja. Problem minimizacije. Metoda zlatnog reza. Smjer silaska. Korak silaska. Gradijentna metoda. Newtonova metoda. Usporedba metoda na primjeru minimizacije kvadratnog funkcionala.

Literatura

  • Z. Drmač i dr., Numerička analiza: osnovni udžbenik, skripta PMF–Matematičkog odjela, 2003.
  • W. Cheney, D. Kincaid, Numerical Mathematics and Computing, Sixth edition, Thomson Brooks/Cole, Belmont, CA, 2008.
  • W. Gautschi, Numerical Analysis, Second Edition, Springer (Birkhauser), New York, 2012.
  • I. C. F. Ipsen, Numerical Matrix Analysis — Linear Systems and Least Squares Problems, SIAM, Philadelphia, 2009.

Dodatna literatura

  • K. E. Atkinson, An introduction to numerical analysis, 2nd edition, John Wiley & Sons. 1989.
  • N. J. Higham, Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, Second Edition, SIAM, Philadelphia, 2002.
  • E. Suli, D. Mayers, Introduction to Numerical Analysis, Cambridge University Press, 2003.
  • L. N. Trefethen, D. Bau, Numerical Linear Algebra, SIAM, Philadelphia, 1997.