[Prethodna tema]   [Sljedeća tema]

3.2. Računanje ranga

Računanje ranga eliptičke krivulje nad Q je vrlo težak problem i zapravo ne postoji algoritam za računanje ranga proizvoljne eliptičke krivulje. No, postoje metode pomoću kojih se u praksi često može izračunati rang.

Pretpostavimo da E ima točku reda 2. U tom slučaju je računanje ranga u pravilu lakše nego u općem slučaju. Opisat ćemo metodu za računanje ranga koja se naziva spust pomoću 2-izogenije.

Ako krivulja E dana jednadžbom y2 = f(x) ima točku reda 2, onda polinom f(x) ima racionalnu nultočku. Možemo pretpostaviti da je ta racionalna nultočka upravo jednaka 0. To znači da E ima jednadžbu oblika

y2 = x3 + ax2 + bx.

Za krivulju E ' koja ima jednadžbu

y2 = x3 - 2ax2 + (a2 - 4b)x

kažemo da je 2-izogena krivulji E. Općenito, izogenijom zovemo homomorfizam između dvije eliptičke krivulje koji je dan pomoću racionalnih funkcija. U našem slučaju, radi se o preslikavanju fi : E(C) --> E '(C), fi(x,y) = (y2 / x2, y(x2 - b) / x2).

Zapišimo x i y u obliku x = m / e2, y = n / e3, te ih uvrstimo u jednadžbu od E. Dobivamo:

n2 = m(m2 + ame2 + be4).

Stavimo b1 = +- (m,b), gdje je (m,b) najveći zajednički djelitelj od m i b, s time da je predznak odabran tako da je mb1 > 0. Tada je m = b1m1, b = b1b2, n = b1n1, pa dobivamo

n12 = m1(b1m12 + am1e2 + b2e4).

Budući da je faktori na desnoj strani posljednje jednadžbe relativno prosti, zaključujemo da postoje cijeli brojevi M i N tako da vrijedi m1 = M2, b1m12 + am1e2 + b2e4 = N2, te tako konačno dobivamo jednadžbu

N2 = b1 M4 + a M2 e2 + b2 e4         (*)

u kojoj su nepoznanice M, e i N. Pritom moraju biti ispunjeni sljedeći uvjeti:

(M,e) = (N,e) = (b1,e) = (b2,M) = (M,N) = 1.

Rang eliptičke krivulje E može se izračunati na sljedeći način. Za svaku faktorizaciju b = b1b2, gdje je b1 kvadratno slobodan broj, napišemo jednadžbu (*). Pokušamo odrediti ima li ta jednadžba netrivijalnih cjelobrojnih rješenja. Svako rješenje (M, e, N) jednadžbe (*) inducira točku na krivulji E s koordinatama x = b1 M2 / e2, y = b1 MN / e3. Neka je r1 broj faktorizacija za koje pripadna jednadžba (*) ima rješenja, te neka je r2 broj definiran na isti način za krivulju E '. Tada postoje nenegativni cijeli brojevi e1 i e2 takvi da je r1 = 2e1, r2 = 2e2 i pritom vrijedi da je

rank (E) = e1 + e2 - 2.

Primjer: Izračunajmo rang eliptičke krivulje

E :        y2 = x3 - 5x.

Sada je pripadna 2-izogena krivulja

E ' :         y2 = x3 + 20x.

Za krivulju E, mogućnosti za broj b1 su +- 1, +- 5. Pripadne diofantske jednadžbe su

N2 = M4 - 5e4,     N2 = -M4 + 5e4,     N2 = 5M4 - e4,     N2 = -5M4 + e4.

Budući da je 12 = 34 - 5 * 24 i 22 = -14 + 5 * 14, zaključujemo da je r1 = 4 i e1 = 2.
Za E' je b1' in {+- 1, +- 2, +- 4, +- 5, +- 10, +- 20}. Međutim, b1' je kvadratno slobodan, a također je očito da b1' i b2' ne mogu oba biti negativni. To povlači da je b1' in {1, 2, 5, 10}. Očito je 12 = 14 + 20 * 04 i 22 = 5 * 04 + 4. Moramo odrediti ima li jednadžba

N2 = 2M4 + 10e4

rješenja. Budući da su M i N relativno prosti, možemo pretpostaviti da je (M, 5) = 1. Tada je po Malom Fermatovom teoremu M4 = 1 (mod 5) i N2 = 2 (mod 5). No, to je nemoguće jer kvadrati cijelih brojeva pri djeljenju s 5 daju ostatke 0, 1, ili 4. Zaključujemo da je r2 = 2, e = 1. Konačno je rank (E) = 2 + 1 - 2 = 1.

Uočimo da smo kod eliminiranja b1'-ova za koje pripadna diofantska jednadžba nema rješenja koristili činjenice da negativan broj ne može biti kvadrat u R, te da broj 2 nije kvadrat u Z5. No, kod diofantskih jednadžbi stupnja većeg od 2 može se dogoditi da one imaju rješenja u R, te da imaju rješenja u Zm za svaki cijeli broj m, ali da ipak nemaju netrivijalnih rješenja u Z. Jedan takav primjer je jednadžba N2 = 17M4 - 4e4 koja se pojavljuje kod računanja ranga eliptičke krivulje y2 = x3 + 17x. U takvim slučajevima je određivanje ranga znatno teže.


U slučaju krivulja bez 2-torzijskih točaka, osnovna ideja je ponovo pridružiti krivulji E familiju krivulja četvrtog stupnja. Metoda se naziva opći 2-spust i puno je manje efikasna od spusta pomoću 2-izogenije.


No, i kad metode za direktno računanje ranga ne daju zadovoljavajući rezultat, možemo pokušati pronaći što više nezavisnih točaka na eliptičkoj krivulji, te tako odrediti barem donju ogradu za rang. Recimo stoga nešto o tome kako se može provjeriti nezavisnost točaka na eliptičkoj krivulji. To se radi tako da se provjeri da jedna determinanta ne isčezava. Determinata o kojoj je riječ je tzv. regulator

R = |det (h'(Pi, Pj))|.

Ovdje je

h'(P, Q) = (h'(P + Q) - h'(P) - h'(Q))/2,

dok je h'(P) kanonska visina točke P definirana sa

h'(P) = lim h(2n P) / 4n,

gdje je h(P) naivna visina, tj. ako je P = (x / z, y / u), onda je h(P) = log max {|x|, |z|}.

Zadatci:

  1. Odredite rang sljedećih eliptičkih krivulja
    a)   y2 = x3 + x;
    b)   y2 = x3 - 4x;
    c)   y2 = x3 + 5x;
    d)   y2 = x3 + 14x;
    e)   y2 = x3 - 82x.

  2. Na krivulji

    y2 = x3 - x2 - 3225667994796x + 2205916672708538820

    nađite sve cjelobrojne točke P = (x,y) takve da je |x| < 10000000.
    Formulirajte neku hipotezu o rangu ove krivulje. Provjerite svoju hipotezu koristeći neki od programa za računanje ranga (mwrank, apecs, simath)

[Prethodna tema]   [Sljedeća tema]
Web stranica seminara Andrej Dujella - osobna stranica