2. Neki matematički problemi u kojima se javljaju eliptičke krivulje

2.1. Kongruentni brojevi

Ovi nas primjeri dovode do sljedeće definicije.

Definicija: Za prirodan broj n kažemo da je kongruentan broj ako je jednak površini nekog pravokutnog trokuta s racionalnim stranicama.

Vidjeli smo već da su 5 i 6 kongruentni brojevi. Broj 7 je također kongruentan jer je jednak površini trokuta sa stanicama (24/5, 35/12, 337/60). S druge strane, poznato je da brojevi 1, 2, 3, 4, 8, 9 i 10 nisu kongruentni.

Postavlja se pitanje kako za dani prirodni broj n odrediti da li kongruentan ili ne. Vidjet ćemo da je to pitanje povezano s eliptičkim krivuljama.

Propozicija: Prirodan broj n je kongruentan ako i samo ako postoji racionalan broj x sa svojstvom da su x, x - n i x + n kvadrati racionalnih brojeva.

Dokaz:
Neka su racionalni brojevi a, b, c katete i hipotenuza pravokutnog trokuta s površinom ab/2 = n. Neka je x = c²/4. Tada je x - n = (a - b)²/4, x + n = (a + b)²/4. Dakle, x - n, x, x + n su kvadrati racionalnih brojeva.
Obratno, ako su x - n, x, x + n kvadrati racionalnih brojeva, recimo x = u², x - n = v², x + n = w², onda ako stavimo a = w + v, b = w - v, c = 2u, dobivamo pravokutni trokut sa stranicama (a, b, c) i s površinom ab/2 = n, pa je n kongruentan broj.

Ako su brojevi x - n, x, x + n kvadrati racionalnih brojeva, onda je, naravno, i njihov produkt kvadrat nekog racionalnog broja. To povlači da ako je n kongruentan broj, onda na eliptičkoj krivulji

E :         y² = x³ - n² x

x([2] P) = ((3x² - n²) / (2y))² - 2x = (x⁴ + 2n²x² + n⁴) / (4y²) = ((x² + n²) / (2y))²,
x([2] P) + n = ((x² + 2nx - n²) / (2y))²,
x([2] P) - n = ((x² - 2nx - n²) / (2y))².

Propozicija: Prirodan broj n je kongruentan ako i samo na eliptičkoj krivulji En leži barem jedna racionalna točka P = (x,y) za koju je y 0.

Može se pokazati da, osim 2-torzijskih točaka, krivulja E nema drugih drugih točaka konačnog reda. Stoga je broj n kongruentan ako i samo na eliptičkoj krivulji E_n leži beskonačno mnogo racionalnih točaka (tj. ako je rang od E pozitivan).

Rezultat koji se najviše približio odgovoru na pitanje kako za dani prirodni broj n odrediti da li kongruentan jest sljedeći teorem u čijem se dokazu koriste mnogi duboki pojmovi i rezultati vezani uz eliptičke krivulje.

Teorem: (Tunnell) Neka je n kvadratno slobodan prirodan broj, te neka je d = 1 ako je n neparan, a d = 2 ako je n paran. Ako je n kongruentan, onda jednadžba x2 + 2dy2 + 8z2 = n / d ima točno dvostruko više cjelobrojnih rješenja (x, y, z) od jednadžbe x2 + 2dy2 + 32z2 = n / d. Uz pretpostavku da vrijedi tzv. Birch-Swinnerton-Dyerova slutnja, vrijedi i obrat ove tvrdnje.

O Birch-Swinnerton-Dyerovoj slutnji recimo za sada samo to da ona povezuje broj generatora (rang) eliptičke krivulje nad poljem s brojem točaka na toj istoj krivulji kad se ona promatra nad konačnim poljem . To je jedan od sedam tzv. Millenium Prize Problems.

Primjer: Neka je n = 3.
Jednadžbe x² + 2y² + 8z² = 3 i x² + 2y² + 32z² = 3 imaju svaka po 4 rješenja (1,1,0), (1,-1,0), (-1,1,0), (-1,-1,0), pa Tunnellov teorem povlači da broj 3 nije kongruentan.

Primjer: Neka je n = 34.
Jednadžba x² + 4y² + 8z² = 17 ima 8 rješenja (1,2,0), (1,-2,0), (-1,2,0), (-1,-2,0), (3,0,1), (3,0,-1), (-3,0,1), (-3,0,-1), dok jednadžba x² + 4y² + 32z² = 17 ima samo 4 rješenja (1,2,0), (1,-2,0), (-1,2,0), (-1,-2,0). Stoga na osnovu obrata Tunnellovog teorema zaključujemo da je broj 34 kongruentan. Uvjerimo se u to tako da pronađemo pravokutni trokut s racionalnim stranicama čija je površina jednaka 34. Krećemo od eliptičke krivulje y² = x³ - 34² x. Na njoj se nalazi racionalna točka P = (-2, 48). Označimo prvu koordinatu točke [2] P sa x. Računamo: x = (145 / 12)², x + n = (127 / 12)², x - n = (161 / 12)², te iz dokaza prve propozicije nalazimo stranice pravokutnog trokuta: a = 24, b = 17 / 6, c = 145 / 6.

Zadatci:

1. Dokažite da jednadžba x⁴ - y⁴ = z² nema rješenja u prirodnim brojevima. Pokažite da iz ove činjenice slijedi da broj 1 nije kongruentan broj.

2. Nađite barem tri pravokutna trokuta s racionalnim stranicama i površinom jednakom 6.

3. Odredite sve kongruentne brojeve manje od 30. Za svaki takav broj n nađite barem jedan pravokutni trokut s racionalnim stranicama i površinom jednakom n.