3. zadaća

Prvi zadatak

1. Dokažite da je znamenka jedinicā broja 2²ⁿ jednaka 6, za svaki prirodan broj n veći ili jednak 2.
2. Dokažite da je za svaki prirodan broj n, broj 3·4n+1 + 10n-1 - 4 djeljiv s 9.
3. Dokažite da je produkt proizvoljnog broja faktorā od kojih svaki daje ostatak 1 pri dijeljenju sa 6, ponovo broj koji daje ostatak 1 pri dijeljenju sa 6.
   Uputa: indukcijom po broju faktorā.
4. Dokažite da za svaki n∈ℕ∪{0} vrijedi

   5 | 3·6ⁿ + 11ⁿ⁺¹ + 1.

5. Dokažite da za svaki n∈ℕ∪{0} vrijedi

   6 | 2·7ⁿ + 2·13^{n + 1}+2.

6. Dokažite da za svaki n∈ℕ∪{0} vrijedi

   7 | 5·8ⁿ + 22ⁿ⁺¹ + 1.

7. Dokažite da za svaki n∈ℕ∪{0} vrijedi

   8 | 4·9ⁿ + 2·25ⁿ⁺¹ + 2.

8. Dokažite da za svaki n∈ℕ∪{0} vrijedi

   9 | 34·10ⁿ - 28ⁿ⁺¹ + 3.

9. Dokažite da za svaki n∈ℕ∪{0} vrijedi

   10 | 9·21ⁿ - 2·31ⁿ⁺¹ + 3.

10. Dokažite da za svaki n∈ℕ∪{0} vrijedi

    12 | 4·25ⁿ + 49ⁿ⁺¹ + 7.

Drugi zadatak

14. Dokažite da za svaki n∈ℕ∪{0} vrijedi

    1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... + 1/4ⁿ > 3n/4.

15. Za koje sve prirodne brojeve vrijedi

    3ⁿ < 2ⁿ + 3n?

    Uputa: Za prvih nekoliko brojeva provjerite direktno. Za ostale provjerite indukcijom.
16. Dokažite da vrijedi

    1·1 + 2·2 + 3·4 + 4·8 + ... + 2006·2²⁰⁰⁵ = 2005·2²⁰⁰⁶ + 1.

17. Dokažite da vrijedi

    √(3+√(3+...√3...)) > 2,

    pri čemu se na lijevoj strani nalaze bar dva znaka korijena.
18. Dokažite da za svaki n∈ℕ∪{0} vrijedi

    1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = (1 + 2 + 3 + ... + n)²

    (uputa: prvo izračunajte desnu stranu, kako je napravljeno na vježbama).
19. Dokažite da za svaki n∈ℕ vrijedi

    2 - (1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + ... + n/2ⁿ) = (n+2)/2ⁿ.

20. Izračunajte općenito vrijednost

    1/(1·2) + 1/(2·3) + 1/(3·4) + 1/(4·5) + ... + 1/(n·(n+1))

    za prirodne n.
    (Uputa: Izračunajte prvih nekoliko vrijednostī, iz toga naslutite opću formulu, i dokažite je indukcijom.)
21. Izračunajte općenito vrijednost razlomka

    (n+1)·(n+2)·(n+3)·...·(2n-1)·2n

    ---

    1·3·5·...·(2n-3)·(2n-1)

    za prirodne n.
    (Uputa: Izračunajte prvih nekoliko vrijednostī, iz toga naslutite opću formulu, i dokažite je indukcijom.)
22. Dokažite da za svaki prirodni n, broj

    7 + 7² + 7³ + 7⁴ + ... + 7⁴ⁿ

    završava s dvije nule.
23. Za koje sve prirodne brojeve vrijedi

    n³ > n² + 3n + 9?

    Uputa: Za prvih nekoliko brojeva provjerite direktno. Za ostale provjerite indukcijom.