2. zadaća

Prvi zadatak

  1. Neka su A, B i C proizvoljni skupovi. Odredite kakav je odnos između skupova
    (A∪B)∖(C∪A)iB∖(A∪C)
    (provjerite obje inkluzije. One koje vrijede općenito, dokažite. Za one koje ne vrijede, nađite kontraprimjer.)
  2. Neka su A, B i C proizvoljni skupovi. Odredite kakav je odnos između skupova
    (A∖B)∖(A∖C)i(A∩C)∖B
    (provjerite obje inkluzije. One koje vrijede općenito, dokažite. Za one koje ne vrijede, nađite kontraprimjer.)
  3. Neka su A, B i C proizvoljni skupovi. Odredite kakav je odnos između skupova
    (A∪B)∩(A∪C)i(B∩C)∪A
    (provjerite obje inkluzije. One koje vrijede općenito, dokažite. Za one koje ne vrijede, nađite kontraprimjer.)
  4. Neka su A, B i C proizvoljni skupovi. Odredite kakav je odnos između skupova
    (A∩(B∪C))∖Bi(A∩C)∖B
    (provjerite obje inkluzije. One koje vrijede općenito, dokažite. Za one koje ne vrijede, nađite kontraprimjer.)
  5. Neka su A, B i C proizvoljni skupovi. Odredite kakav je odnos između skupova
    (B∪C)∖(A∪B)iC∖(B∪A)
    (provjerite obje inkluzije. One koje vrijede općenito, dokažite. Za one koje ne vrijede, nađite kontraprimjer.)
  6. Neka su A, B i C proizvoljni skupovi. Odredite kakav je odnos između skupova
    (B∖C)∖(B∖A)i(B∩A)∖C
    (provjerite obje inkluzije. One koje vrijede općenito, dokažite. Za one koje ne vrijede, nađite kontraprimjer.)
  7. Neka su A, B i C proizvoljni skupovi. Odredite kakav je odnos između skupova
    (B∪C)∩(B∪A)i(C∩A)∪B
    (provjerite obje inkluzije. One koje vrijede općenito, dokažite. Za one koje ne vrijede, nađite kontraprimjer.)
  8. Neka su A, B i C proizvoljni skupovi. Odredite kakav je odnos između skupova
    (B∩(C∪A))∖Ci(B∩A)∖C
    (provjerite obje inkluzije. One koje vrijede općenito, dokažite. Za one koje ne vrijede, nađite kontraprimjer.)
  9. Neka su A, B i C proizvoljni skupovi. Odredite kakav je odnos između skupova
    (C∪A)∖(B∪C)iA∖(C∪B)
    (provjerite obje inkluzije. One koje vrijede općenito, dokažite. Za one koje ne vrijede, nađite kontraprimjer.)
  10. Neka su A, B i C proizvoljni skupovi. Odredite kakav je odnos između skupova
    (C∖A)∖(C∖B)i(C∩B)∖A
    (provjerite obje inkluzije. One koje vrijede općenito, dokažite. Za one koje ne vrijede, nađite kontraprimjer.)
  11. Neka su A, B i C proizvoljni skupovi. Odredite kakav je odnos između skupova
    (C∪A)∩(C∪B)i(A∩B)∪C
    (provjerite obje inkluzije. One koje vrijede općenito, dokažite. Za one koje ne vrijede, nađite kontraprimjer.)
  12. Neka su A, B i C proizvoljni skupovi. Odredite kakav je odnos između skupova
    (C∩(A∪B))∖Ai(C∩B)∖A
    (provjerite obje inkluzije. One koje vrijede općenito, dokažite. Za one koje ne vrijede, nađite kontraprimjer.)

Drugi zadatak

  1. Neka je na skupu S:={7,9,13} zadana relacija
    ρ:={(7,13), (13,9), (7,7), (9,7), (13,7), (9,13), (7,9)}.
    Ispitajte njena svojstva (refleksivnost, simetričnost, tranzitivnost i antisimetričnost). Za svojstva koja vrijede, navedite potpun dokaz. Za svojstva koja ne vrijede, nađite kontraprimjer.
  2. Neka je na skupu S:={2,4,8,16,32} zadana relacija
    ρ:={(4,2), (16,8), (32,2), (32,8), (4,8), (16,2)}.
    Ispitajte njena svojstva (refleksivnost, simetričnost, tranzitivnost i antisimetričnost). Za svojstva koja vrijede, navedite potpun dokaz. Za svojstva koja ne vrijede, nađite kontraprimjer.
  3. Neka je na skupu S:={2,4,6,8} zadana relacija
    ρ:={(2,8), (4,8), (4,4), (8,2), (2,2), (8,4), (8,8), (2,4), (4,2)}.
    Ispitajte njena svojstva (refleksivnost, simetričnost, tranzitivnost i antisimetričnost). Za svojstva koja vrijede, navedite potpun dokaz. Za svojstva koja ne vrijede, nađite kontraprimjer.
  4. Neka je na skupu S:={1,2,3,5} zadana relacija
    ρ:={(1,1), (1,3), (5,5), (2,2), (5,3), (3,3), (3,5), (1,5)}.
    Ispitajte njena svojstva (refleksivnost, simetričnost, tranzitivnost i antisimetričnost). Za svojstva koja vrijede, navedite potpun dokaz. Za svojstva koja ne vrijede, nađite kontraprimjer.
  5. Neka je na skupu S:={M,A,T,H} zadana relacija
    ρ:={(M,T), (T,H), (A,T), (T,A), (M,M), (H,H), (T,M), (A,A), (T,T), (H,T)}.
    Ispitajte njena svojstva (refleksivnost, simetričnost, tranzitivnost i antisimetričnost). Za svojstva koja vrijede, navedite potpun dokaz. Za svojstva koja ne vrijede, nađite kontraprimjer.
  6. Neka je na skupu S:={L,E,M,A} zadana relacija
    ρ:={(E,E), (E,M), (M,A), (M,M), (A,A), (E,A), (L,L)}.
    Ispitajte njena svojstva (refleksivnost, simetričnost, tranzitivnost i antisimetričnost). Za svojstva koja vrijede, navedite potpun dokaz. Za svojstva koja ne vrijede, nađite kontraprimjer.
  7. Neka je na skupu S:={D,O,K,A,Z} zadana relacija
    ρ:={(O,K), (D,K), (A,A), (O,Z), (A,O), (D,D)}.
    Ispitajte njena svojstva (refleksivnost, simetričnost, tranzitivnost i antisimetričnost). Za svojstva koja vrijede, navedite potpun dokaz. Za svojstva koja ne vrijede, nađite kontraprimjer.
  8. Neka je na skupu S:={K,U,T} zadana relacija
    ρ:={(K,K), (K,U), (U,T), (U,U), (T,T), (T,K)}.
    Ispitajte njena svojstva (refleksivnost, simetričnost, tranzitivnost i antisimetričnost). Za svojstva koja vrijede, navedite potpun dokaz. Za svojstva koja ne vrijede, nađite kontraprimjer.
  9. Neka je na skupu S:={1,2,3,4} zadana relacija
    ρ:={(1,1), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3), (4,4)}.
    Dokažite da je to relacija ekvivalencije na S, i nađite klasu ekvivalencije elementa 2.
  10. Neka je na skupu S:={5,6,7,8} zadana relacija
    ρ:={(5,5), (5,7), (7,5), (6,6), (6,8), (7,7), (8,8), (8,6)}.
    Dokažite da je to relacija ekvivalencije na S, i nađite klasu ekvivalencije elementa 8.
  11. Neka je na skupu S:={A,B,C,D,E} zadana relacija
    ρ:={(A,A), (C,C), (C,D), (C,E), (D,C), (D,D), (D,E), (E,C), (E,D), (E,E), (B,B)}.
    Dokažite da je to relacija ekvivalencije na S, i nađite klasu ekvivalencije elementa C.
  12. Neka je na skupu S:={2,5,8} zadana relacija
    ρ:={(2,2), (2,5), (5,8), (8,8), (5,5), (8,5), (5,2), (8,2), (2,8)}.
    Dokažite da je to relacija ekvivalencije na S, i nađite klasu ekvivalencije elementa 5.