Linearna algebra 1 – inž. fizike

2. rujna 2005.

(1) Je li sustav

x_{2} − 2x_{3} + 14x_{4} = 9 5x_{1} − x_{2} + 4x_{3} − 10x_{4} = 9

\frac{5}{2}x_{1} + x_{3} + 2x_{4} = 9

17x_{1} − x_{2} + 9x_{3} − x_{4} = 52

Cramerov? Ako jest, Cramerovim pravilom odredite vrijednost nepoznanice x_{4}. Ako nije, odredite broj parametara potrebnih za zapis rješenja.

(2) Odredite determinantu matrice

[ \begin{matrix}2 & 1 & −4 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & −3 \\ 1 & 3 & −1 & 0 \\ 9 & 1 & 1 & 7 \end{matrix} ] .

Što iz toga zaključujete o rangu te matrice?

(3) Odredite matricu X takvu da vrijedi

X · [ \begin{matrix}2 & −1 & 1 \\ 4 & 2 & 3 \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}26 & 3 & 17 \\ −10 & 9 & −4 \end{matrix} ] .

(4) Odredite ortogonalnu projekciju vektora (14, 14, −6, −8, 4, −10, −10) na vektor (1, 0, 0, −1, 2, 0, −3) u unitarnom prostoru ℝ^{7}. Odredite i ortogonalnu komponentu.

(5) Je li skup

S := {(1, 0, 0, 1), (1, 0, 0, −1), (1, 1, 1, 0), (0, 1, 1, 0)} ⊂ ℝ^{4}

ortonormiran? Ako nije, ortonormirajte ga. Ako pak jest, nadopunite ga do ortonormiranog skupa izvodnicâ za ℝ^{4}.

Linearna algebra 2 – inž. fizike

2. rujna 2005.

(1) U prostoru su zadani ravnina

π … x + \frac{y}{2} − z = 6

i pravac

p … x − 5 = 2 − y = 2z .

• Je li p ⊂ π?

• Odredite jednadžbu okomice na p, točkom (3, 4, −1), unutar ravnine π.

(2) Zadan je linearni operator f : ℝ^{2} → ℝ^{3}, koji u paru bazâ

( {(1, 2), (2, 3)} , {(1, 2, 2), (−1, 2, 1), (1, 1, 1)} )

ima matricu [ \begin{matrix}2 & 5 \\ 3 & −1 \\ 4 & 2 \end{matrix} ]. Koliko je f(−1, 1)?

(3) Odredite svojstvene vrijednosti, njihove algebarske i geometrijske kratnosti, te neke baze svojstvenih potprostorâ, za matricu

[ \begin{matrix}2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{matrix} ] .

(4) Neka je g : M_{2}(ℝ) → M_{2}(ℝ) preslikavanje zadano formulom

g(X) := X − \frac{tr X}{2} · I .

Provjerite da je g linearni operator, nadite mu rang i defekt, te po jednu bazu za jezgru i sliku. Koje svojstvo karakterizira matrice u Ker g?

(5) Izračunajte 7 · e^{B}, gdje je B = [ \begin{matrix}2 & 3 \\ 4 & 1 \end{matrix} ].