Linearna algebra 1 – inž. fizike

15. lipnja 2005.

(1) Je li sustav

2x_{1} + 3x_{2} − x_{3} + x_{4} = 2
8x_{1} − 2x_{2} + x_{3} − x_{4} = 3
−x_{1} + 6x_{2} − x_{3} + 2x_{4} = 7
5x_{1} − x_{2} + 5x_{4} = −1

Cramerov? Ako jest, Cramerovim pravilom odredite vrijednost nepoznanice x_{2}. Ako nije, odredite broj parametara potrebnih za zapis rješenja.

(2) Odredite rang matrice

[ \begin{matrix}2 & 1 & −1 & 3 & 0 & 5 \\ 1 & 2 & −2 & 0 & 4 & 2 \\ 3 & 3 & −3 & 3 & 4 & 7 \\ 3 & 0 & 0 & 6 & −4 & 8 \end{matrix} ] .

(3) Odredite inverz matrice

[ \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} ] .

(4) Odredite ortogonalnu projekciju, i ortogonalnu komponentu, vektora (0, 0, 7, −7) na vektorski potprostor od ℝ^{4} razapet vektorima (−1, 3, 0, 1), (0, 1, 1, 0) i (−1, 1, 0, 0).

(5) Potprostor L vektorskog prostora ℝ^{5} zadan je kao linearna ljuska skupa

C = {(1, −2, 1, −1, 1), (1, 1, 0, 1, −2), (3, 0, 1, 1, −3)} .

Je li C baza za L? Je li ortonormiran? Nadite neku ortonormiranu bazu za L.

\underline{Rezultati:} ponedjeljak, 20. lipnja, 16:00 \underline{Usmeni ispit:} četvrtak, 23. lipnja, 11:00

Vedran Čačić

Linearna algebra 2 – inž. fizike

15. lipnja 2005.

(1) Odredite parametarske jednadžbe pravca koji leži u ravnini jednadžbe x + y − 2z = 5, i okomit je na pravac zadan s −x = \frac{y−5}{3} = \frac{z+3}{−2}.

(2) Neka je f : ℝ^{4} → ℝ^{2} linearan operator zadan formulom

f(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (2x_{1} + x_{2} − x_{3}, 8x_{1} − 2x_{4}) .

Odredite matricu operatora f u paru bazâ (B_{1}, B_{2}), gdje je

B_{1} = {(1, 2, 1, 2), (1, 0, 1, 4), (0, 1, 2, −1), (0, 2, 0, 1)} ,

B_{2} = {(2, 1), (−1, −1)} .

(3) Riješite svojstveni problem za matricu

[ \begin{matrix}5 & 2 & −1 \\ 2 & 2 & 2 \\ −1 & 2 & 5 \end{matrix} ] .

(4) Neka je g : M_{3}(ℝ) → M_{3}(ℝ) preslikavanje koje na matricu djeluje tako da joj sve brojeve ispod glavne dijagonale zamijeni nulama (brojevi iznad i na dijagonali ostaju nepromijenjeni). Je li g linearni operator? Odredite mu rang i defekt. Koje svojstvo karakterizira matrice u slici od g?

(5) Pomoću eksponencijalne funkcije matricâ riješite diferencijalnu

jednadžbu

y′′′ + y′′ − 2y′ = 0 ,

uz početne uvjete y(0) = 1, y′(0) = −4 i y′′(0) = 2.

\underline{Rezultati:} ponedjeljak, 20. lipnja, 16:00 \underline{Usmeni ispit:} četvrtak, 23. lipnja, 11:00

Vedran Čačić