Linearna algebra 1 – inž. fizike

16. veljače 2005.

1. Gaussovom metodom riješite sustav

2x_{1} + 3x_{2} + 5x_{3} − x_{4} − x_{5} = 1
3x_{1} + x_{3} − 2x_{4} + x_{5} = 2.
x_{2} + x_{3} + x_{4} − 3x_{5} = 3

i rješenje zapišite u vektorskom obliku.

2. Neka je

A = [ \begin{matrix}2 & 1 & 3 & 5 & 1 \\ 3 & −1 & 2 & 1 & 2 \\ 7 & 1 & 8 & 11 & 4 \\ −7 & 4 & −3 & 2 & −5 \end{matrix} ]

Odredite r(A).

3. Izračunajte inverz matrice

X = [ \begin{matrix}2 & −3 & 2 \\ 2 & 5 & −6 \\ 3 & 2 & −4 \end{matrix} ] .

4. Je li S := {(1, 0, 2, 1), (2, 1, 3, 2), (1, 1, 0, 1)} ⊂ R^{4}ortonormiran skup? Ako jest, nadopunite ga do ortonormirane baze za R^{4}. Ako nije, nadite ortonormiran skup koji razapinje isti prostor kao S.

5. Neka je L ⊂ R^{5} linearna ljuska skupa

{(2, 1, −1, 0, 1), (1, −1, 0, 2, 1), (1, 0, 0, −1, 1)}.

Odredite ortogonalnu projekciju i ortogonalnu komponentu vektora (2, 1, 3, −2, 2) s obzirom na L.

Rezultati: petak, 16:00

Linearna algebra 2 – inž. fizike

16. veljače 2005.

1. Odredite parametarsku jednadžbu pravca koji prolazi točkom (3, 2, −1), i okomito siječe pravac jednadžbe x + 1 = y + 2 = z + 1.

2. Ako linearni operator A u bazi (j⃗ + k⃗, k⃗ − i⃗, i⃗ + j⃗ − k⃗) ima matricu

[ \begin{matrix}−2 & 1 & 2 \\ 2 & −1 & 1 \\ 1 & −2 & 4 \end{matrix} ] ,

odredite matricu istog operatora u kanonskoj bazi za R^{3}.

3. Riješite svojstveni problem (odredite svojstvene vrijednosti, vektore, algebarske i geometrijske kratnosti) za matricu

B = [ \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ] .

4. Neka je f preslikavanje na realnim (2 × 2)-matricama, koja na matricu djeluje tako da je zbroji s njenom transponiranom matricom. Dokažite da je f linearni operator, odredite mu rang i defekt, te neku bazu za jezgru i sliku.

5. Riješite pomoću eksponencijalne funkcije matrica, sustav linearnih di-

ferencijalnih jednadžbi

y′_{1} = 2y_{2}
y′_{2} = 3y_{1} + y_{2}.

Rezultati: petak, 16:00