Linearna algebra 1 – inž. fizike

7. prosinca 2004.

1. Gaussovom metodom riješite sustav

[ \begin{matrix}0 & 4 & 6 & 14 & 5 \\ −3 & 1 & 2 & 9 & 2 \\ 4 & 2 & 2 & −1 & 0 \end{matrix} ] · [ \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}1 \\ −4 \\ 6 \end{matrix} ]

i rješenje zapišite u matričnom obliku.

2. Neka je

A = [ \begin{matrix}2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 2 & 5 & 3 \\ 5 & 4 & 3 & 2 \\ 3 & 5 & 2 & 4 \end{matrix} ] .

Odredite r(A) i det A.

3. Odredite matricu X takvu da vrijedi

[ \begin{matrix}2 & 1 & −2 \\ 1 & 0 & −1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} ] · X = [ \begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix} ] .

4. Neka su v_{1} := (2, 2, 1) i v_{2} := (1, −2, 2) dva vektora u R^{3}. Je li S := \{\frac{v_{1}}{3} , \frac{v_{2}}{3} \} ortonormiran skup? Ako jest, nadopunite ga do ortonormirane baze za R^{3}. Ako nije, ortonormirajte ga Gram–Schmidtovim postupkom.

5. Neka je L linearna ljuska skupa

D = {(2, 0, −1, 1, 0, 0), (2, 1, 0, −1, 1, 2), (1, 0, 1, −1, 0, 2)} ⊂ R^{6}.

Je li D baza za L? Odredite ortogonalnu projekciju vektora

x = (7, −9, 10, −4, 5, 1)

na L.

Rezultati: četvrtak, 10:00

Vedran Čačić

Linearna algebra 2 – inž. fizike

7. prosinca 2004.

1. Zadane su dvije ravnine, π_{1} … x + 2(y + z) = −3 i π_{2} … z = x + 5. Točkom T = (1, 0, 0) povučen je pravac p, paralelan s obje ravnine. Odredite parametarski oblik jednadžbe pravca p.

2. Neka je A : R^{3} → R^{3} linearni operator koji u bazi (j⃗ +k⃗, k⃗ −i⃗, i⃗+j⃗ −k⃗) ima matricu

[ \begin{matrix}1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & −1 \\ −1 & 0 & 3 \end{matrix} ] .

Odredite matricu operatora A u (i⃗, j⃗, k⃗) — kanonskoj bazi za R^{3}.

3. Riješite svojstveni problem za matricu

B = [ \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{matrix} ] .

4. Neka je f elementarna transformacija na realnim (2 × 3)-matricama, koja na matricu djeluje tako da joj zamijeni prvi i drugi stupac. Dokažite da je f linearni operator, te mu odredite rang i defekt.

5. Izračunajte e^{A}, gdje je A = [ \begin{matrix}0 & 2 \\ 3 & 1 \end{matrix} ].

Rezultati: četvrtak, 10:00

Linearna algebra 2 – inž. fizike, stari program

7. prosinca 2004.

1. Neka je A : R^{3} → R^{3} linearni operator koji u bazi (j⃗ +k⃗, k⃗ −i⃗, i⃗+j⃗ −k⃗) ima matricu

[ \begin{matrix}1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & −1 \\ −1 & 0 & 3 \end{matrix} ] .

Odredite matricu operatora A u (i⃗, j⃗, k⃗) — kanonskoj bazi za R^{3}.

2. Riješite svojstveni problem za matricu

B = [ \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{matrix} ] .

3. Neka je f elementarna transformacija na realnim (2 × 3)-matricama, koja na matricu djeluje tako da joj zamijeni prvi i drugi stupac. Dokažite da je f linearni operator, te mu odredite rang i defekt.

4. Odredite matricu X takvu da vrijedi

[ \begin{matrix}2 & 1 & −2 \\ 1 & 0 & −1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} ] · X = [ \begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix} ] .

5. Neka su v_{1} := (2, 2, 1) i v_{2} := (1, −2, 2) dva vektora u R^{3}. Je li S := \{\frac{v_{1}}{3} , \frac{v_{2}}{3} \} ortonormiran skup? Ako jest, nadopunite ga do ortonormirane baze za R^{3}. Ako nije, ortonormirajte ga Gram–Schmidtovim postupkom.

Rezultati: četvrtak, 10:00