Linearna algebra 2

inž. fizike

Vedran Čačić

17. rujna 2004.

1. Odredite jednadžbu ravnine koja sadrži x-os, i paralelna je s pravcem jednadžbe \frac{x−2}{6} = \frac{y+8}{−1} = \frac{z−3}{2}.

2. Neka je S : R^{3} → R^{3} preslikavanje koje pomiče koordinate udesno: vektoru (x, y, z) pridruži vektor (0, x, y). Dokažite da je S linearni operator. Nadite prikaz operatora S u (nekoj) ortogonalnoj bazi koja sadrži vektore (1, 1, 1) i (2, −1, −1).

3. Riješite svojstveni problem za matricu

A = [ \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix} ] .

4. Neka je f : M_{23}(R) → M_{23}(R) elementarna transformacija koja na matrici djeluje tako da njen drugi redak pribroji prvome. Je li f linearni operator? Ako jest, odredite mu rang i defekt. Nadite neku bazu za sliku od f.

5. Pomoću eksponencijalne funkcije matricâ riješite sustav linearnih diferen-

cijalnih jednadžbi

y′_{1} = 2(y_{1} + y_{2})
y′_{2} = y_{1} + 3y_{2}.

Rezultati: ponedjeljak, 20. rujna 2004., u 12:00.