Linearna algebra 2 - inž. fizike

(za studente koji su kolegij slušali prije ak.god. 2001./02.)

5. srpnja 2004.

1. Neka je \(TraditionalForm\`A : ℝ\^3 -> ℝ\^3\) preslikavanje koje rotira koordinate udesno: svakom vektoru (x, y, 
          z) ∈ (ℝ^3) pridruži vektor (z, x, y). Dokažite da je A linearni operator. Nadopunite skup {(1, 2, 2), (-1, 1, 1)} do (neke) baze za (ℝ^3) i nađite prikaz operatora A u toj bazi.

2. Odredite svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore matrice

(({{1, -1, 1}, {-1, 1, -1}, {1, -1, 1}})).

3. Odredite matricu X takvu da vrijedi

(({{4, 3, 3}, {9, 7, 5}, {3, 2, 1}}))X=(({{5, -2, 5}, {6, 3, 6}, {3, 0, 3}})).

4. Neka je L < (ℝ^4)linearna ljuska skupa {(Subscript[a, 1]), (Subscript[a, 2]), (Subscript[a, 3])}, gdje su (Subscript[a, 1]) = (1, -1, 2, 3), (Subscript[a, 2]) = (-1, 2, 0, 1) i (Subscript[a, 3]) = (4, 3, 1, -2). Je li ((Subscript[a, 1]), (Subscript[a, 2]), (Subscript[a, 3])) baza za L? Odredite neku ortonormiranu bazu za L.

5. Neka je \(TraditionalForm\`f : \(M\_2\)(ℝ) -> \(M\_2\)(ℝ)\) linearni operator zadan s f(X) := X - (X^( τ)). Odredite mu rang i defekt. Koje svojstvo karakterizira sve matrice u Ker f ? A u Im f ?

Rezultati i žalbe bit će u srijedu, 7. srpnja 2004. u 10:00 .
Usmeni ispit bit će u četvrtak, 8. srpnja 2004. u 10:00 u sobi 110 .

Vedran Čačić — Veky