Linearna algebra 1 & 2 za fizi~care
Pregled gradiva

LAf1:

1. Uvod:
   • Realni brojevi i n-torke realnih brojeva. Grafi~cki prikaz. |Rn kao vektorski prostor.
   • Zbrajanje vektor~a i mno~zenje skalarom. Zakoni koji vrijede za te operacije.
   • Linearna kombinacija. Problemi izra~zavanja nekog vektora kao linearne kombinacije, ili nulvektora kao netrivijalne linearne kombinacije zadanih vektor~a.
2. Sustavi linearnih jedna~gb~i:
   • Op~ti oblik sustava: linearni koeficijenti, slobodni ~clanovi, nepoznanice. Oblik rje~senja.
   • Gaussova metoda eliminacije ~ elementarne transformacije na jedna~gbama. Kanonski oblik sustava.
   • Mogu~te situacije s obzirom na postojanje i jedinstvenost rje~senja ~ ~citanje iz kanonskog oblika sustava. Zapisivanje vi~sestrukih rje~senj~a pomo~tu slobodnih parametara.
   • Matri~cni zapis sustava. Elementarne transformacije na recima.
3. Veza vektor~a i stupaca matric~a:
   • Linearna nezavisnost. Skup izvodnica. Baza. Dimenzija. Linearna ljuska. Potprostor. Rang.
   • Rang po recima jednak je rangu po stupcima. Elementarne transformacije na stupcima.
   • Kanonski oblik matrice iz kojeg se direktno ~cita rang. Svo~denje na taj oblik sukcesivnim elementarnim transformacijama na recima i na stupcima.
4. Veza linearnih operator~a i matric~a:
   • Definicija linearnog operatora. Linearni operator je odre~den svojim djelovanjem na bazi. Matri~cni zapis linearnog operatora.
   • Djelovanje linearnog operatora na vektor ~ opravdanje multiplikativne notacije. Mno~zenje matrice vektorom.
   • Kompozicija linearnih operator~a (ako je definirana) je linearni operator ~ mno~zenje matric~a. Inverz linearnog operatora (ako je definiran) je linearni operator ~ inverz matrice.
   • Ra~cunanje inverza matrice elementarnim transformacijama na recima matrice pro~sirene jedini~cnom. [ A | I ]~[ I | A-1 ]. Formula za inverz matrice tipa 2x2.
5. Determinante:
   • Definicija determinante. Kako se determinanta pona~sa prema elementarnim transformacijama na stupcima.
   • Determinanta trokutaste matrice jednaka je produktu njenih dijagonalnih ~clanova. Svo~denje matrice na trokutastu elementarnim transformacijama na stupcima.
   • det Atau=det A. Mo~zemo raditi elementarne transformacije i na recima, ali raditi oboje u istom zadatku rijetko kad ima smisla (ako radimo samo elementarne transformacije ~ Laplaceov razvoj je druga pri~ca).
   • Formula za determinantu tipa 2x2. Sarusovo pravilo za determinantu tipa 3x3.
   • Formula za determinantu pomo~tu permutacij~a. Laplaceov razvoj. Dobre strategije za ra~cunanje determinanti Laplaceovim razvojem.

   ---

6. Jo~s o matricama i determinantama:
   • Neke dodatne operacije s matricama: Transponiranje. Mno~zenje matrice skalarom. Matrice tvore vektorski prostor.
   • Primjena determinanti na rje~savanje sustav~a. Determinanta sustava. Cramerov sustav. Determinante nepoznanic~a. Cramerovo pravilo. Kada se isplati.
   • Ra~cunanje inverza pomo~tu determinanti. Tra~zenje inverza kao rje~savanje nekoliko sustava s istom osnovnom matricom. Minora. Algebarski komplement. Adjunkta.
7. Skalarni produkt:
   • Potreba za dodatnom strukturom na |Rn. Definicija preko zbroja umno~zaka odgovaraju~tih koordinat~a. Svojstva: bilinearnost, pozitivnost, komutativnost.
   • Definicija norme. Norma kao duljina vektora. Normiran vektor. Normiranje.
     Definicija ortogonalnosti. Ortogonalnost kao okomitost vektor~a. Veza skalarnog produkta i kuta izme~du vektor~a. Ra~cunanje projekcije pomo~tu skalarnog produkta.
   • Ortogonalan skup. Normiran skup. Ortonormiran skup. Ortonormiranost povla~ci nezavisnost. Ortonormirana baza (ONB). Kanonska baza je ONB.
   • Ortonormiranje baze proizvoljnog potprostora. Gram-Schmidtov postupak. Neovisnost postupka o naknadno dodanim vektorima.