From veky@student.math.hr Tue Nov 18 23:26:31 2003 Subject: Re: malo matematike Lines: 186 Message-ID: <slrnbrl5vm.78l.veky@student.math.hr> References: <bpdp2i$o36$1@bagan.srce.hr> >e molio bi vas matemati are za pomo, >imam komad iz matematike (idem 3. >razred ope gimn.) i trebam ga ispravit >a nisam uope ni pazio na satu ni >vjebo, pa sad blijedo gledam u te zadatke... >U ili smo bili trigonometrijske funkcije bilo kojeg kuta.. >i ja ne kuim ono >svoPenje na prvi i drugi kvadrant.. >ni%t mi to nije jasno, jel moe to neko malo objasnit? No problem. Naravno, uz napomenu da nizovi ASCII-znakova _nikako_ ne mogu zamijeniti reallife dozivljaj u ucionici, ali sto je tu je... [lesson title="svi putovi vode u Prvi Kvadrant"] Dakle ovak: tebi su vjerojatno trigonometrijske funkcije ono, omjeri odgovarajucih stranica u pravokutnom trokutu (sinus je nasuprotna kateta kroz hipotenuza, i tako to...). Naravno, na taj nacin mozes jedino imati trig funkcije kutova od 0 do pi/2 (odnosno, pravog kuta). Ne mozes naci sinus od npr. 2pi/3 jer ne mozes nacrtat pravokutni trokut koji ima alfa=2pi/3 ... :-o Pa sto sad? Moramo generalizirati stvar. Kao prvo, jasno je da su svi pravokutni trokutovi kojima je alfa zadan medusobno slicni ( beta=pi/2-alfa , pa imaju iste kutove), dakle omjeri stranica su im isti. Konkretno, npr. sin alfa=a/c ne ovisi o velicini od c (jer ce se a povecati proporcionalno koliko god c povecas ako trokut ostane pravokutan s jednim kutom alfa ). Pa onda okrenimo to u svoju korist: mathematicari ne vole razlomke. a/c je razlomak opcenito, ali ponekad i nije (remember " Z podskup Q " - pricu?). Naravno, nije ako je c=1 . Dakle, stavimo c:=1 . Sad se nalazenje sin alfa svodi na: nacrtaj kut alfa , na jedan krak nanesi 1(=c), na drugi krak iz dobivene tocke spusti okomicu i ocitaj njenu duljinu. Naravno, time si nacrtao pravokutni trokut, pa to jos uvijek vrijedi samo za alfa izmedu 0 i pi/2 . Kako prosiriti stvar? Okej, imamo jedan krak fiksan, imamo na njega nanesen kut koji se mijenja (od 0 do pi/2 , ali mi bismo htjeli i vise), imamo drugi krak tog kuta konstantne duljine 1 , i tocku na njegovom kraju koja je kljucna za spustanje okomice na onaj prvi krak. Vizualiziras:-? Gle: Vrh kuta fiksan, jedan krak fiksan, drugi se udaljuje povecavajuci the kut , na kraju tog drugog imas svijetlecu tocku. Sto opisuje tocka? --SPOILER-- :-) Naravno, opisuje kruznicu. Preciznije, opisuje jednu cetvrtinu kruznice (remember, alfa je izmedu 0 i pi/2 ), ali sad je kristalno jasno da mozemo nastaviti crtati i preostale tri cetvrtine kruznice, prosirivsi time interval alfe na <0,2pi> . Kako citati odgovarajuce trigonometrijske funkcije? Da vidimo sto je ona famozna "duljina okomice" (ie, sinus ) postala sada... naravno, zelimo moci okomicu spustiti i kod kutova od pi/2 do pi (pa mozda i dalje). Probaj vizualizirati slucaj alfa=2pi/3 , i vidjet ces da ti okomica ne pada na prvi krak. Zapravo, uz mali napor maste, _pada_, ali na krivu stranu. :-) Sto covjek napravi u takvim slucajevima? Isto sto i sto je napravio kad je shvatio da postoje temperature s "krive" strane ledista vode - u mislima linearno prosiri skalu i na suprotnu stranu, i tome pridruzi negativne brojeve. Aha, tako dakle. Ali mi znamo kako se to u mathu zove - realni pravac, zar ne? No sad je slika malo cudna. Imamo jedan realni pravac, na kojeg spustamo okomice, a osim toga, imamo i kruznicu koja je inherentno dvodimenzionalna zivotinja. :-) Sto je prirodnije nego dodati jos jedan realni pravac, okomit na ovaj prvi i s jednakom jedinicnom duzinom (na kraju krajeva, polumjer kruznice je 1 ... a ne zelimo da kruznica bude spljostena:), i time smjestiti kruznicu u nesto sto se zove zvucnim imenom "koordinatni sustav u ravnini"? Super. U _tom_ svjetlu, vise ne moramo ni spustati okomice - koordinatni sustav to radi za nas. :-! Naime, sjeti se kako se ocitavaju koordinate pojedinih tocaka u 2D koordsustavu... da, upravo spustanjem okomica i mjerenjem njihovih duljina (y), odsjecaka (x) i orijentacija (predznak, odnosno kvadrant). Dakle, nas famozni sin alfa je sad postao jednostavno y (druga koordinata) one svijetlece tocke s pocetka price. Ne treba puno bistrine da se skuzi da je cos alfa upravo x (prva koordinata, znana jos pod imenom apscisa) te iste tocke. Naravno, s obzirom na to da se radi o kruznici polumjera 1 , nijedna tocka ne moze pobjeci dalje od 1 od ishodista (sredista), ali moze ici na suprotnu stranu. Na taj nacin, sin i cos vise nisu od 0 do 1 , vec od -1 do 1 (ukljucivo). E sad da vidimo po kvadrantima kako to izgleda: Prvi: ovo znas. Prica o pravokutnom trokutu, alfa u [0,pi/2] , sinus i kosinus u [0,1], sve divno i krasno. Drugi: (alfa od pi/2 do pi .) Sad vise okomica iz svijetlece tocke ne pada na prvi krak (ie, pozitivni dio x-osi), vec pada na negativni (ref dio). To znaci da je kosinus negativan. No i dalje se _spusta_ jednako kao i u prvom kvadrantu, dakle y , sinus , je istog predznaka kao i prije - pozitivan. Da vidimo koliki tocno. Za to moramo znati koliko iznosi sam kut koji odgovara odredenom kutu u prvom kvadrantu. U tu svrhu zamisli ogledalce duz y-osi. S jedne strane, u prvom kvadrantu, kut alfa bulji u ogledalo. Vidi svoju sliku u drugom kvadrantu, za kojeg zapravo misli da je prvi, jer se pozitivni dio x-osi takoder ogleda u ogledalu. Dakle, u odnosu na taj fiktivni pozitivni dio x-osi, kut s druge strane je jednak ovom pravom (ne pobrkati s pi/2 ;) kutu u prvom kvadrantu. Dakle, pomaknut je, ali po apsolutnoj vrijednosti jednak "azimutu" alfa. Prvo, pomak: nuli ocito odgovara pozitivan dio x-osi, koji ogledalo preslika u negativni, na kojem je alfa=pi . Dakle pomak je pi , pa je vrijednost kuta u drugom kvadrantu na prvi pogled jednaka pi+alfa . Naravno, na drugi pogled, nije. :-9 Apsolutna vrijednost jest alfa , ali je predznak drugi, u sto si se mogao uvjeriti ako si ikad gledao kazaljke sata u ogledalu. ;-) Vrte se u suprotnom smjeru, zar ne:-? Dakle, -alfa je pravi predznak, pa je kut jednak pi-alfa . Rezimirajmo: pi-alfa je kut u drugom kvadrantu koji odgovara kutu alfa u prvom. Ima isti sinus kao i alfa , ali kosinus suprotnog predznaka. sin(pi-alfa)=sin alfa cos(pi-alfa)=-cos alfa Idemo u treci kvadrant: alfa je sljedecih pi/2-kriska, dakle od pi do 3pi/2 . Okomica i dalje "pada" u iste tocke ( cos ostaje istog predznaka, dakle negativan), samo sto vise ne _pada_, vec se dize. :-) (sinus mijenja predznak, dakle postaje negativan) So, i sinus i kosinus su negativni, odnosno suprotnih predznakova nego odgovarajuci u prvom kvadrantu. A koji je to odgovarajuci kut? Pomak je i dalje pi (nuli odgovara pi , koji je u drugom kvadrantu jednako kao i u trecem:), samo sto je sad orijentacija pozitivna, u sto si se mogao uvjeriti ako si ikad gledao kazaljke sata preko _dva_ ogledala (sto je ipak malo rjeda pojava:). Anyhow, da postedim mamina ogledala havarije, reci cu ti a ti mi vjeruj na rijec: vrte se u "pravom" smjeru. Dakle, kut je ovaj put pi+alfa . Rezime: sin(pi+alfa)=-sin alfa cos(pi+alfa)=-cos alfa I jos cetvrti... alfa od 3pi/2 do 2pi . Okomica se i dalje dize (sinus ostaje negativan), ali ovaj put na "pravi" prvi krak, dakle kosinus postaje pozitivan. So, samo ce sinus imati obrnut predznak nego odgovarajuceg kuta u prvom kvadrantu. Mislim da je ideja o satu s kazaljkama i 3 ogledala stvarno bezobrazna:-o, ali nadam se da mi vjerujes da ce orijentacija opet biti suprotna. Jos samo pomak... nuli ovaj put odgovara taj isti polozaj, ali ovaj put na granici cetvrtog kvadranta. To ocito nije nula , jer nula nije ni blizu vrijednostima od 3pi/2 do 2pi ... ne, to je kut 2pi (ono kako izgleda pozitivna x-os gledana "odozdo", iz 4. kvadranta). So, kutu alfa u prvom kvadrantu odgovara kut 2pi-alfa u Delta^Wovaj, cetvrtom;-) kvadrantu. sin(2pi-alfa)=-sin alfa cos(2pi-alfa)=cos alfa Eto. Toliko o prva cetiri kvadranta. Staa, zar ih ima jos:-?? Pa naravno.:-) Jasno je da sad mozemo i nastaviti kruziti po toj famoznoj jedinicnoj kruznici, u "peti" kvadrant, s alfama od 2pi do 5pi/2 , koji zapravo nije nista drugo nego prvi kvadrant pomaknut za 2pi (orijentacija je ovaj put trivijalno pozitivna, ali ako ti se bas eksperimentira s 4 ogledala...:). Isto tako ce "sesti", "7." i "8." kvadrant biti kopije od drugog, treceg i cetvrtog, pomaknute za 2pi . I pritom ce sinusi i kosinusi (koordinate, jel) biti potpuno iste kao sto su bile prije 2pi sekundi, dana, ili cega vec, ovisno o tome kojom brzinom podebljavamo kruznicu. :-) sin(alfa+2pi)=sin alfa cos(alfa+2pi)=cos alfa Naravno, tu nije kraj. :-> Dodemo do 4pi , i tko ce nas sad zaustaviti;-? Nastavljamo ponovo po istoj kruznici, i dobijemo formule analogne gornjima, za 4pi umjesto 2pi . Pa onda za 6pi , i tad valjda shvatimo da to pali za 2k pi za bilo koji prirodni k . I ne samo prirodni - mozemo se vrtjeti i u suprotnom smjeru, i vidjeti da se stvar uopce ne mijenja puno. InFact, na pocetku te vrtnje u suprotnom smjeru prvo udemo u 4. kvadrant, pa se tamo sinusi i kosinusi ponasaju... znamo vec kako (pise gore) - sinus suprotan, kosinus isti. sin(-alfa)=-sin alfa cos(-alfa)=cos alfa No zastranili smo:-/. Htjedoh reci, ono sto smo gore naslutili, vrijedi i za bilo koji k@|Z . Dakle, sin(alfa+2k pi)=sin alfa cos(alfa+2k pi)=cos alfa I to je to. Sad kad dobijes neku ogromnu kutinu (svaka slicnost s izvjesnim mjestima u Sisacko-moslavackoj zupaniji je slucajna:)), prvo primijenis ove neposredno gornje formule da ga sreduciras na prvi okret (ie, prva 4 kvadranta). InFact, ak je negativan, prvo primijeni ove predzadnje:-. . Efektivno, ak je recimo zadan u stupnjevima, zanima te koliko najvise 360rki mozes oduzeti da bi ostao pozitivan, i zapravo te zanima koliko ti ostane. To se inace zove dijeljenje s ostatkom, i ono sto te zanima je ostatak. ok, sad ga imas od 0 do 2pi . Sad skuzis u kojem kvadrantu je, dokucis koji mu je odgovarajuci u prvom kvadrantu ako on vec nije tamo, i prebacis ga eventualno mijenjajuci predznak sinusu &li kosinusu. Time si sveo problem na prvi kvadrant, gdje si doma sa svojim pravokutnim trokuticima, i slicnim. [/lesson] Eto. Nadam se da si sad zazalio sto nisi pazio na tim satovima... ;-p Ako imas pitanja, samo javi. HTH & Bye, -- Veky ... there's an open story ...