From veky@student.math.hr Mon Dec 8 17:14:59 2003
Subject: Re: Geometrijski niz
Lines: 95
Message-ID: <slrnbt941t.da9.veky@student.math.hr>
References: <br0do3$38p$1@ls219.htnet.hr>
In article <br0do3$38p$1@ls219.htnet.hr>, Leo wrote:
>Pozdrav grupi!
>Nisam ba% neki matemati ar,
>pa bih molio nekoga da mi raspi%e ovaj zadatak.
>Zadatak glasi:
>
>Zbroj triju uzastopnih lanova geometijskog niza iznosi 39,
>zbroj njihovih kvadrata jednak je 819. Koji su to brojevi?
[lesson title="simetricne jednadbe"]
Geometrijski niz je niz u kojem
nema nula, a kvocijenti susjednih brojeva su jednaki.
Dakle, ako sve te kvocijente oznacis s q , a drugi
(od ta 3 uzastopna) element niza s a , tada
kvocijent drugog i prvog mora biti q , pa drugi mora biti a/q .
Jednako tako, kvocijent treceg i drugog mora biti q ,
pa treci mora biti a*q .
Sjajno. Dakle, ta tri broja su a/q, a i aq ,
s tim da treba jos odrediti a i q .
Njihov zbroj, 39=a/q+a+aq=a(1/q+1+q) .
Zbroj kvadrata,
819=(a/q)^2+a^2+(aq)^2=a^2/q^2+a^2+a^2*q^2=a^2*(1/q^2+1+q^2) .
To su dvije jednadbe s dvije nepoznanice, kojeg rijesimo
tako da prvo eliminiramo jednu nepoznanicu.
a se cini laksim za eliminirati, ovako:
prvu jednadbu, 39=a*(1/q+1+q) , kvadriramo. Dobijemo
1521=a^2*(1/q+1+q)^2 , dakle, ( 1/q+1+q nije nula, jer pomnozen
s a^2 daje 1521 , pa s njim mozemo dijeliti ;
analogno, 1/q^2+1+q^2 nije nula,
jer pomnozen s a^2 daje 819 , pa i s njim mozemo dijeliti):
a^2=1521/(1/q+1+q)^2=819/(1/q^2+1+q^2) , odnosno
819*(1/q^2+1+q^2+2/q+2q+2)=1521*(1/q^2+1+q^2)
819*3+819*2*(q+1/q)-1521=(1521-819)*(q^2+1/q^2)
936+1638*(q+1/q)=702*(q^2+1/q^2) .
Sad je ovo jednadba s q , no grozna je za opcenito rjesavanje jer je
zapravo 4. stupnja. ButNevermind, simetricna je i to se moze jako
lijepo iskoristiti...
Vidimo da nam se pojavljuju izrazi q+1/q i q^2+1/q^2 . Kad bismo
oznacili q+1/q s t , oad bi jos samo trebalo prikazati q^2+1/q^2 pomocu
t . Kad bi bar to bio t^2 ... naravno, nije jer fali dvostruki prvi puta
drugi, ali nije ni jako daleko od toga.
t^2=(q+1/q)^2=q^2+2*q*1/q+1/q^2=q^2+1/q^2+2 , odnosno ono sto
trazimo je t^2-2 . Uvrstimo to gore:
936+1638t=702(t^2-2) , odnosno
702t^2-1638t+468=0 , sto je kvadratna jednadba po t .
Sad mozemo nju rjesavati, no zgodno je da se ona prethodno moze
podijeliti s 234 , pa dobijemo 3t^2-7t-10=0 . Njena rjesenja su
t_{1,2}=(7{+,-}sqrt(49+120))/(2*3)=(7{+,-}13)/6={10/3,-1} .
E sad... ako smo u realnim brojevima (ako nismo, vici:), pogledajmo malo
ono gore, gdje smo dobili q^2+1/q^2=t^2-2 . To je ocito zbroj dva
kvadrata (na lijevoj strani), pa nije negativno. No za t=-1 ,
t^2-2=(-1)^2-2=1-2=-1<0 .
Dakle, rjesenje t=-1 otpada (ako je q realan).
Mah... on second thought - cak i ako nije realan,
pogledaj s cim smo dijelili i vec tada zakljucili da to nije nula.
To je bio izraz 1/q+1+q , odnosno t+1 . Dakle, to definitivno nije 0 ,
pa t nije -1 . -1 otpada u svakom slucaju.
So, ostaje jedino t=10/3 . Sjetimo se sto je t , t=q+1/q , pa imamo
q+1/q=10/3 .
Ovo mozemo svesti na kvadratnu jednadbu "mehanicki",
ali prirodnije je ovako: q i 1/q su dva broja ciji je zbroj 10/3 ,
a umnozak im je ocito q*1/q=1 . Dakle, po Vieteovim formulama, oni su
rjesenja od
x^2-10/3*x+1=0 , odnosno
(10/3{+-}sqrt(100/9-4))/2=(10/3{+-}8/3)/2=(5{+-}4)/3={3,1/3} .
Sad, naravno, jedan od njih je 3 a drugi 1/3 , ali je za nas zadatak
svejedno koji je koji. Jer gle - mi samo trazimo brojeve a/q , a i a*q .
Za q|->1/q , samo ce prvi i treci zamijeniti mjesta, ali odgovor na
pitanje "koji su to brojevi" ce biti isti.
Dakle, (BSOMP) q=3 . Sjajno. Sad nam jos samo fali a . Izraz koji
pomnozen s a daje sumu, dakle 39 ,
je 1/q+1+q=t+1=10/3+1=13/3 . So, 13/3*a=39 ,
odnosno a/3=3 , iz cega a=9 . Pogledajmo gore... to je drugi broj.
Prvi je a/q=9/3=3 , a treci je a*q=9*3=27 .
(Jos samo mala napomena. Ako se ne bismo ogranicili na geometrijske
nizove bez nule (kao sto ja gore ucinih), svejedno bismo dobili samo
ovo rjesenje. Naime, takav niz (geometrijski koji sadrzi nulu)
moze samo poceti s necim sto nije nula, dok
su svi ostali elementi 0 ( q mora biti 0 , pa vec a*q mora biti 0 , pa
i svi oni nakon njega). Dakle, tad bi brojevi bili b,0,0 , pa bi im suma
bila b a suma kvadrata b^2 . No ako je b=39 , tad b^2=39^2=1521 nije
819 . Dakle, to nema rjesenja.)
Odgovor na pitanje: to su brojevi 3 , 9 i 27 .
[/lesson]
Etogac. Pitanja? :-)
--
Veky ... anyone I ever met ...