From veky@student.math.hr Thu Jan  8 15:21:13 2004
Subject: Re: plus&minus
Lines: 204
Message-ID: <slrnbvod9h.t7o.veky@student.math.hr>
References: <qmlwxealhfbn$.15ew0kk2ky0kj$.dlg@40tude.net>

In article <qmlwxealhfbn$.15ew0kk2ky0kj$.dlg@40tude.net>, oooo wrote:
>jel mi netko moze objasnit zasto kad se mnoze dva broja sa negativnim
>predznakom kao rjesenje se dobije pozitivan broj
> a kad se mnoze pozitivan i
>negativan broj kao rjesenje se dobije negativan broj!?

Kao i obicno, [veky:]mogu pokusati[/]. :-)

[lesson title="...siroko mu polje"]
Prvo da rascistimo malu terminolosku zapetljanciju koja te mozda muci.
"s negativnim predznakom"... predznak broja je jednostavno neki drugi
broj, i to: predznak od x je uniformiziran 
(sto ovdje jedino znaci da je 0 ako bilo koji broj zadovoljava uvjete)
broj sgn x koji pomnozen s |x| daje x .
Na |R , sve vrijednosti koje sgn moze poprimiti (dokazi:) su 0 , 1 i -1
( im sgn|_|R={-1,0,1} ): 0 u nuli, 1 na pozitivnim i -1 na negativnim
brojevima. Dakle, jedini "negativan predznak" je -1 , 
i on upravo odgovara negativnim brojevima. 
Dakle_2, "broj s negativnim predznakom" i "negativan broj" 
su za nas ekvivalentni pojmovi. Dakle_3, ovo prvo je pleonazam (ofco?:).

No dobro, to je bilo prilicno nebitno, ali za svaki slucaj. Idemo sad
raspiliti ostale definicije. "Negativan" znaci "manji od 0". "Pozitivan"
znaci "veci od 0". Hm. Sveli smo dva pojma na dva druga,
"manji od" i "veci od". Mozemo mi i bolje.  (-: 
"x je veci od 0" znaci isto sto i "0 je manja od x", pa se mozemo
izvuci sa samo jednim pojmom, "manji od", odnosno relacijom "<" .
Ta relacija na |R ima svojstva irefleksivnosti (nijedan broj nije
manji od samog sebe) i tranzitivnosti (ako je jedan broj manji od
drugog, koji je manji od treceg, 
tad je i ovaj prvi manji od treceg). Takva relacija
zove se IPU (irefleksivni parcijalni uredaj), a buduci da se i svaka
dva razlicita broja mogu usporediti ( x=y V x<y V y<x ), 
ovdje imamo posla s obicnim (irefleksivnim) uredajem. 
Naravno, naziv "uredaj" se ovdje
odnosi na svojstvo te relacije da pomocu nje mozemo nekako urediti
realne brojeve, odnosno znati od dva koji je veci a koji manji.

Toliko o uredaju (zasad). Spominjes jos i mnozenje. Sto bi to bilo?
Ocito, neka operacija: dakle preslikavanje koje djeluje na uredenim
parovima realnih brojeva i pridruzuje im realne brojeve:
 *:|Rx|R->|R  . No malo je cudno pricati o mnozenju ad hoc,
jer postoji jedna jednostavnija operacija
na realnim brojevima, s malo pravilnijom strukturom, pa bih prvo nju
raspilio: naravno, rijec je o zbrajanju. +:|Rx|R->|R
Koja svojstva ono ima? Sigurno znas za asocijativnost i komutativnost.

No ima i par drugih, koja se uglavnom konceptualno trpaju pod
novu operaciju: oduzimanje, odnosno omogucuju nam da po nekoj varijabli
(svejedno kojoj) invertiramo to preslikavanje, 
odnosno rjesavamo jednadbe
poput 2+x=5 . Kako to obicno rjesavamo? "prebacimo" 2 na desnu stranu,
cime se on magicno pojavi tamo sa suprotnim predznakom. Na to smo vec 
toliko navikli da se ne pitamo puno o tome, no trenutno pogledajmo 
pazljivije. Ako je na lijevoj strani pisalo 2+x , 
a sad pise samo x , sto smo ucinili? 
Oduzeli smo 2 , odnosno (definicija oduzimanja) pribrojili
smo -2 . Sad je jasno da smo to ucinili i na desnoj strani, i zasto smo
dobili -2 tamo. Zapravo smo ga dobili i na lijevoj strani, no tamo je
on "ponistio" onu dvojku koja je tamo stajala.

Zadubimo se malo u to ponistavanje. 
Kao prvo, zbrajanjem 2 i -2 se dobije
0 . To ocito mozemo napraviti za svaki broj: naci njemu suprotan, koji
s njim zbrojen daje 0 . To se zove egzistencija inverza.
Kao drugo, ono sto je posebno u nuli je to da ona zbrojena s bilo
kojim brojem (ovdje x ) daje njega samog, odnosno ponasa se "neutralno"
pri zbrajanju. Zato se i zove _neutralni element_.
Dakle, zbrajanje na |R ima svojstva: asocijativnost, komutativnost,
egzistencija neutralnog elementa, i egzistencija inverza.

Ima li mnozenje ista ta svojstva? Pa, skoro. :-) (jos preciznije: ima, 
ali ne mnozenje _na |R_ ) No da bismo vidjeli gdje je problem, pokusajmo
docarati obrise slike koju zelimo stvoriti.
Imamo |R , i na njemu dvije operacije, + i * , i jednu relaciju, < .
Skuzili smo da one imaju puno lijepih svojstava sa zanimljivim nazivima,
pa se cak i skupine tih svojstava vezane uz jedno preslikavanje nazivaju
nekako (npr. ako promatramo samo zbrajanje, ova cetiri gore navedena 
svojstva kazu da imamo nesto sto algebraicari zovu "grupa". Dakle, |R
je uz zbrajanje grupa, odnosno Gr(|R,+) . Takoder, uz < |R je tzv.
totalno ureden skup: tos(|R,<) ). No kad bi samo takva svojstva
bila u igri, to zapravo ne bi bila velika koherentna struktura
(|R,+,*,<) ,
vec bi to bile tri male strukture: (|R,+) , (|R,*) i (|R,<) . Dakle,
trebaju nam svojstva koja povezuju gornja tri elementa.

Svojstvo koje povezuje zbrajanje i mnozenje vjerujem da ti je isto
odavno dobro poznato: naravno, distributivnost mnozenja prema zbrajanju.
Jos uskladiti uredaj sa zbrajanjem i mnozenjem... no to cemo poslije.
Sad cemo iskoristiti distributivnost da pokazemo jednu zanimljivu
cinjenicu, a to je da nula pomnozena s bilo kojim brojem daje nulu.
Zaista, ako je x bilo koji realan broj,
	0=0*x+(-0*x)=(*0=0+0 , jer 0 je neutralni element za zbrajanje*)
	=(0+0)*x+(-0*x)=(*distributivnost*)
	=(0*x+0*x)+(-0*x)=(*asocijativnost*)
	=0*x+(0*x+(-0*x))=(* -0*x je suprotni od 0*x *)
	=0*x+0=(* 0 je neutralni *)
	=0*x . 
Eh... eto. A sto to znaci? Znaci da analognu jednadbu onoj gore, 
samo za mnozenje, a*x=b , ne mozemo rijesiti ako je a=0 (a b nije).
Neutralni element za mnozenje postoji, i zove se 1 , naravno, ali
ako 1 != 0 (ovo se moze ciniti kao trivijalna napomena, ali ulazi
u popis aksioma realnih brojeva:-) - zove se netrivijalnost polja),
tad ne postoji inverzni (s obzirom na mnozenje)
za nulu - broj koji pomnozen s 0 daje
1 , iz prostog razloga sto svaki broj, kao sto gore stoji, pomnozen
s nulom mora davati nulu.

Kako se izvuci iz ovog, i sacuvati sto vise od onog "...je grupa"?
Mozemo pokusati modificirati svojstva, no puno elegantnije je
modificirati skup. *:-) Naime, 0 nam uopce ne treba za multiplikativnu
strukturu na |R , i ako promotrimo |R\{0} , vidimo da taj skup
zaista jest grupa s obzirom na mnozenje: ima neutral 1 , jer 0 != 1 ,
a svaki element u njemu ima inverz (jer 0 ionako nije niciji inverz
s obzirom na mnozenje, iz istog razloga), x|->1/x. 

Jos smo ostali duzni ukladenost < s operacijama.
< sa zbrajanjem... to jednostavno znaci da je pribrajanje nekog
broja rastuca funkcija, odnosno cuva smjer nejednakosti.
S mnozenjem... to je ono sto nisi ni pitao u svom
pitanju, jer ti je intuitivno ocito, a to je da mnozenjem pozitivnih
brojeva dobijes pozitivan broj.

Super. Ponovimo sve sto dosad imamo:
	(|R,+,*,<)
		+:|Rx|R->|R
		*:|Rx|R->|R
		<:|R--|R
+ :)	GrA(|R,+)
		a+(b+c)=(a+b)+c
		a+b=b+a
		(E_0@|R)(A_a@|R)(0+a=a)
		(A_a@|R)(E_(-a)@|R)(a+(-a)=0)
* :)	GrA(|R\{0},*)
		(analogno kao gore, zamijeni + s * i |R s |R\{0} )
< :)	tos(|R,<)
		!(a<a)
		a<b & b<c => a<c
		a=b V a<b V b<a
    +&*:)		a*(b+c)=a*b+a*c
    +&<:)	a<b => a+c<b+c
    *&<:)	0<a & 0<b => 0<a*b

Ovakva struktura zove se _uredeno polje_. Dakle, to je struktura oblika
(F,+,*,<) koja zadovoljava sve gornje aksiome. 
Oni su nam dovoljni da damo odgovor na bilo kakvo pitanje koje se
tice uredenih polja, pa i ono tvoje gore. No kad sam vec tu ne mogu
ne napraviti jos jedan mali korak i time dati malo materijala za 
razmisljanje onima sto dolje pricaju o multiverzumu i slicnim (gledano
iz perspektive matha!) baljezgarijama. :-)

Radi se o sljedecem zanimljivom svojstvu uredaja: 
ako imas neprazan skup realnih brojeva, koji ima
gornju medu (svi brojevi tog skupa su manji od npr. 100 ), tada on
sigurno ima _najmanju_ gornju medu - realan broj sa svojstvom da su svi
elementi skupa i dalje ispod njega, no nijedan broj ispod njega nema
to svojstvo. Da bismo to zapisali simbolicki, 
prvo uvedimo oznaku S<=x , gdje je S skup realnih brojeva
a x realan broj, za (A_y@S)(y<=x) ( x je gornja meda za S ).
Sad to postaje:
	S!={} & (E_y@|R)(S<=y) => 
	    => (E_z@|R)(S<=z&!(E_w@|R)(S<=w<z)) .
To svojstvo zove se potpunost uredaja, a uredeno polje s takvim
uredajem zove se _potpuno uredeno polje_. No mozemo ga slobodno
nazvati i _skup realnih brojeva_:-), i to zbog jednog od najljepsih
teorema analize, koji glasi:
	Postoji jedinstveno (do na izomorfizam)
	potpuno uredeno polje, i to je |R .

Dakle, ako dodas to svojstvo na popis aksioma gore, ne samo da ces
dobiti impresivan popis stvari koje |R zadovoljava, vec ces dobiti
svojevrsnu |R-ovu "osobnu iskaznicu", popis svojstava koje zadovoljava
jedino struktura |R i nitko drugi. 
Dakle, pomocu njih ces moci odgovoriti
na bilo koje pitanje na koje uopce mozes ocekivati da mozes suvislo 
math-odgovoriti u vezi realnih brojeva. Sve sto znamo o |R u standardnom
mathu posljedica je tih aksioma.

Okej, pa odgovorimo onda na tvoja pitanja, kad smo vec dovde dosli.
Prvo, ako je a pozitivan, onda je -a negativan. Zaista, 0<a , dodamo
-a na obje strane, uskladenost + i < , dobijemo -a<0 . 
Potpuno analogno,
ako je a negativan, -a je pozitivan. Takoder, -(-a)=a , jer a+(-a)=0
po komutativnosti zbrajanja znaci da je a takav broj koji zbrojen s -a
daje 0 , odnosno inverz od -a . (ovdje nam "inverz" znaci "aditivni
inverz", odnosno suprotan broj)

Super. Sad idemo mnoziti pozitivan broj negativnim. 
Neka je a neki pozitivan
broj, a b neki negativan. Po gornjem, c:=-b je pozitivan, i b=-(-b)=-c .
Dakle a i c su dva pozitivna broja, 
pa im je umnozak pozitivan: 0<a*c .
No a*b+a*c=a*(b+c)=a*(-c+c)=a*0=0*a=0 , odnosno a*b je inverz od a*c .
	( a*(-c)=-(a*c) , ovo ce nam trebati jos)
No kako je ovaj pozitivan, a*b mora biti negativan. Etoga.

Sad negativni negativnim. a i b su negativni, dakle a=-c , b=-d , c i d
su pozitivni (pa je i c*d pozitivan). (-c)*(-d)=(*po gornjem*)
=-((-c)*d)=-(d*(-c))=(*opet*)-(-(d*c))=d*c=c*d <- pozitivno.

Dakle, overview odgovora: 
negativni brojevi su aditivni inverzi pozitivnih.
Svojstvo "biti aditivni inverz" se cuva mnozenjem, pa a puta aditivni
inverz od b je isto sto i aditivni inverz od a puta b , odnosno umnozak
s negativnim brojem je negativan, ako je umnozak s pozitivnim pozitivan
(sto jest, ako mnozimo pozitivne brojeve).
Takoder, svojstvo "biti aditivni inverz" je involutorno (aditivni inverz
aditivnog inverza je sam pocetni broj), pa mnozenjem _dva_ aditivna
inverza pozitivnih brojeva (ie, dva negativna broja) dobivamo aditivni
inverz aditivnog inverza produkta pocetnih pozitivnih brojeva, odnosno
sam taj produkt, koji smo vidjeli da je pozitivan.
[/lesson]

Jupi. Eto i prvog lessona u 2004oj. Znam da je malo cudan, ali
takvi su moji lessoni opcenito. :-) Ima pitanja?

-- 
Veky                  ... my fingers and thumbs ...