From veky@student.math.hr Thu Dec 11 19:36:24 2003
Subject: Re: jedan zadatak...
Lines: 106
Message-ID: <slrnbthc54.lts.veky@student.math.hr>
References: <1103_1070967870@news.carnet.hr>
In article <1103_1070967870@news.carnet.hr>, Mars wrote:
>Moze li mi koja dobra dusa rijesit ovaj zadatak:
>Odredi sve racionalne brojeve x za koje je
> log(x^2-4x-1) po bazi 2 cijeli broj.
Hm... po Ahriju odgovaram definiciji (dobra dusa), pa budem
probao. BTW, zadatak je definitivno fora.
[lesson title="o racionalnim rjesenjima"]
Dakle, ld(x^2-4x-1)=k , k@|Z ((k je cijeli broj, that is)).
Iz toga odmah x^2-4x-1=2^k , odnosno (upotpunjenje na potpun
kvadrat) (x-2)^2=2^k+5 . x@|Q <=> x-2@|Q ((x je racionalan akko
je x-2 racionalan)), pa je dovoljno (y:=x-2) traziti sve racionalne
y i cjelobrojne k takve da je y^2=2^k+5 .
(again, moram izvuci disclaimer: ne pitajte me kako sam dosao do
ovoga...:)
All right. Prvo promotrimo slucaj kad je k>=3 . U tom slucaju,
2^k+5 je prirodan broj, i to takav da pri dijeljenju s 8 daje ostatak
5 (primijetimo, 2^k=8*2^(k-3) , a 2^(k-3)@|N - so, 2^k+5 je
8*(nesto prirodno)+5 ). Pa bi kao i y^2 trebao biti takav. No,
kao prvo, y je cijeli broj ( y=p/q skraceno do kraja
povlaci y^2=p^2/q^2 skraceno do kraja, a to moze biti cijelo jedino
za q^2=1 , odnosno q=1 => y je vec bio cijeli broj). Cijeli brojevi se
dijele na parne i neparne, pa je i y takav - paran ili neparan.
Ako je y paran, y^2 je djeljiv s 4 , pa pri dijeljenju s 8 daje ostatak
0 ili 4 . Ako je neparan, y^2=(2l-1)^2=4l^2-4l+1=4l(l-1)+1 . l(l-1) je
umnozak dva uzastopna cijela broja, pa je paran. Dakle, pomnozen s
4 je djeljiv s 8 , pa je y^2 oblika 8k+1 . Odnosno, kako god bilo, y^2
pri dijeljenju s 8 daje ostatke 0 , 1 ili 4 ,
te nikako ne moze dati 5 . Dakle, za k>=3 nema rjesenja.
Ok, sad idemo na negativne k-ove. U tom slucaju imamo y^2=5+2^k , samo
sto je sad 5+2^k=5+1/2^-k razlomak.
Naravno, zajednicki nazivnik je 2^-k (remember,
k<0 ), a u brojniku onda pise 5*2^-k+1 . Trazimo racionalne y-e, dakle
y=p/q , gdje su p i q relativno prosti (ie, razlomak je skracen do
kraja),
te je p cijeli, a q prirodni broj. No ako je y^2=p^2/q^2 jednak razlomku
ciji je nazivnik prirodna potencija broja 2 , lako se vidi da q u svom
rastavu na proste faktore ne smije imati nikakve brojeve osim dvojki.
(pretpostavimo da je djeljiv npr. sa 7 . Tad buduci da je p relativno
prost s njim, p nije djeljiv sa 7 ,
pa tako ni p^2 . Dakle, p^2/q^2 ima sedmicu
u nazivniku koja se ne moze skratiti, pa nikako ne moze biti jednak
(1+5*2^-k)/2^-k ).
Dakle, q je oblika 2^l , gdje je l neki prirodan broj. (k je negativan,
pa 2^k a tako ni 5+2^k nisu cijeli brojevi, pa ni p/q nije cijeli
broj - so, q!=1 , odnosno l nije 0 ). Uvrstimo to u jednadbu:
p^2/2^(2l)=(1+5*2^-k)/2^-k ,
i pomnozimo je s 2^-k . Dobijemo
p^2*2^(-2l-k)=1+5*2^-k .
k je negativan, pa je 2^-k paran. Dakle je i 5*2^-k paran, pa je
1+to neparan cijeli broj. q=2^l za prirodni l povlaci da je q paran,
pa p mora biti neparan (da je paran, p/q bi se mogao skratiti s 2 ).
So, i p^2 je neparan cijeli broj. Iz te dvije stvari izlazi da i
2^(-2l-k) mora biti neparan cijeli broj (inFact, to je kvocijent dva
neparna cijela broja, pa nema dvojki ni u brojnikovom ni u nazivnikovom
rastavu na proste faktore - no 2^(-2l-k) ima _samo dvojke_), pa mora
biti 1 . Dakle, s jedne strane, -2l-k=0 => -k=2l , a s druge
p^2=1+5*2^(2l)=1+5*4^l .
Sad napadnimo tu jednadbu. p je, kao sto smo vec zakljucili, neparan
cijeli broj, pa ga napisimo u oblik 2r+1 . Takoder, l je neki prirodan
broj, pa je l-1 prirodan ili 0 . Oznacimo 2(l-1) s m - to je paran
prirodan broj ili 0 . Imamo
(2r+1)^2=1+5*4*4^(l-1)
4r^2+4r+1=1+5*4*2^(2(l-1)) (*skratimo 1 i podijelimo s 4 *)
r(r+1)=5*2^m .
Iz toga odmah vidimo da m nije 0 , jer je r(r+1) paran kao umnozak
dva uzastopna cijela broja. Dakle, m je (paran) prirodni broj.
E sad, r je (kao i r+1 ) neki djelitelj od 5*2^m , odnosno u svom
rastavu na proste faktore ima samo dvojke i eventualno jednu peticu.
r+1 onda treba pokupiti preostale dvojke, i ovu peticu akko je r
nije pokupio. U svakom slucaju, imamo ili r=2^s & r+1=5*2^t , ili
r=5*2^t & r+1=2^s (gdje su s i t neki prirodni brojevi ili 0 takvi da
s+t=m ). To se lukavo moze odjednom zapisati kao 5*2^t=2^s{+-}1 .
Ok, da jos vidimo sto iz toga mozemo iscijediti. Ako ni t ni s nisu
nula, lijeva strana je parna a desna neparna, pa to nema rjesenja.
Ako je jedan od njih 0 (ne mogu biti oba nula jer bi tada m=t+s bio
0 , sto smo vidjeli gore da nije), imamo dva slucaja.
1) s=0 . Imamo 5*2^t=2^0{+-}1=1{+-}1 , dakle ili 0 ili 2 . No 5*2^t ne
moze biti 2 jer je djeljivo s 5 (a 2 nije), a ne moze biti ni 0 jer
je pozitivno (a 0 nije:). Dakle, ni ovo nema rjesenja.
2) t=0 . Imamo 5=2^s{+-}1 , odnosno 2^s je ili 4 ili 6 . 6 je djeljiv s
3, pa to ocito ne moze biti 2^s za prirodni s ,
no 4 daje rjesenje: s=2 .
Sad idemo unatrag.
s=2 & t=0 => m=2+0=2=2(l-1) => l-1=1 => l=2 => -k=2l=4 => k=-4 =>
y^2=5+2^-4=5+1/16=81/16 => y=x-2={+-}9/4 => x=2{+-}9/4 , dakle
x1=17/4 , x2=-1/4 .
Eto. Pokrili smo negativne k-ove , i one od 3 nadalje. Jos su
ostali 0,1 i 2. Njih isprobamo:
1) k=0 . y^2=5+2^0=6 , a sqrt(6) !@ |Q , dakle ovo nema rjesenja.
2) k=1 . y^2=5+2^1=7 , ista stvar, sqrt(7) !@ |Q .
3) k=2 . y^2=5+2^2=9 , e, ovo ima racionalna rjesenja. y={+-}3=x-2 ,
pa prema tome x3=-1 , x4=5 .
Sve u svemu, skup svih takvih x-eva je {17/4,-1/4,-1,5} .
Ako nisam nigdje fulao, that is... :-)
[/lesson]
Pitanja (osim onog zabranjenog:) :-?
--
Veky ... in a place where hell is around the corner ...