From veky@student.math.hr Tue Feb 24 19:18:09 2004
Subject: Re: Linearni operatori zadatak!!!
Lines: 105
Message-ID: <slrnc3n4dg.8f.veky@student.math.hr>
References: <c1cth5$mj$1@bagan.srce.hr>
On 2004-02-23, G.H.S. <vid_miokovicghs@yahoo.com> wrote:
> Imam lin. operator simetrije s obzirom na ravninu
> ...x+y+z=0.Trebam mu nac
> matricu u kanonskoj bazi
> ali mu neznam napisat djelovanje tj. neznam sto
> radi. Molim vas ako znate da mi napisete njegovo
> djelovanje i ak vam se da kak ste do toga dosli.
> Hvala!!!
Dakle...
[lesson title="3D zor"
dedicated="svim odbijenim cetvorkama iz linearne algebre;-)"]
kao prvo, linearni operator je jednoznacno odreden svojim djelovanjem
na bazi. Buduci da se ovdje ocito radi o |R^3 , baza je (kanonska)
(e1,e2,e3) . Dakle, dovoljno je vidjeti sto taj operator (oznacimo
ga s A ) radi s vektorima e1 , e2 i e3 . Buduci da je jednadba ravnine
simetricna s obzirom na x,y,z , lako se vidi da je dovoljno vidjeti sto
A radi s e1 , a onda odgovarajucim zamjenama indeksa dobiti ostalo po
simetriji.
Sveli smo problem na preslikavanje jednog vektora. Imam e1=(1,0,0) ,
i imam ravninu ciji je vektor normale n=(1,1,1) . Prvo e1 "spustim"
u tu ravninu (dobijem vektor koji zovem f ),
a onda ga za jos toliko "dignem" na drugoj strani (i dobijem Ae1 ).
Ocito, sve se dogada u ravnini y=z (jer je duz cijele te price odnos
prema y i prema z potpuno isti). f dakle lezi u presjeku
y=z
x+y+z=0 , (ovo se lako rijesi, imas jedan parametar s )
dakle proporcionalan je s (-2,1,1) . f=s*(-2,1,1) .
Sad trazimo vektor Ae1=(x,y,z) , koji takoder lezi u y=z ,
(pa je dakle oblika (x,y,y) ), _nije_ (1,0,0) (vec "onaj drugi"),
ocito je jedinicni (zrcaljenje je izometrija) a kut kojeg zatvara
s f jednak je kutu kojeg e1 zatvara s f . Drugim rijecima, skalarni
produkti su jednaki:
(Ae1|f)=(e1|f) /:s
((x,y,y)|(-2,1,1))=((1,0,0)|(-2,1,1))
-2x+1y+1y=-2*1+1*0+1*0
-2x+2y=-2 /:(-2)
x-y=1 => x=y+1 .
Vektor Ae1=(y+1,y,y) je jedinicni, dakle
y^2+2y+1+y^2+y^2=1 => y*(3y+2)=0 => y=0 V y=-2/3 .
Prvo rjesenje vodi na e1 , pa to nije, dakle
Ae1=(1/3,-2/3,-2/3) .
Etoga. Sad je po simetriji
Ae2=(-2/3,1/3,-2/3) , i
Ae3=(-2/3,-2/3,1/3) ,
dakle matrica od A u kanonskoj bazi je
1 [ 1 -2 -2]
-*[-2 1 -2]
3 [-2 -2 1]
Naravno, ovo je imalo smisla zbog ogromne simetricnosti zadatka...
probajmo malo opcenitiji pristup: zrcaljenje na ravnini ciji je
vektor normale (bilo koji) n . Dobro sad, bilo koji (osim 0 :)...
naravno, uvijek ga mozemo normirati,
pa BSOMP da je normiran: ||n||=1 .
Imamo vektor/tocku/whatever x , i zelimo ga prebaciti preko te
ravnine. Ocito ce rezultat biti x+2a , gdje je a vektor
koji odgovara orijentiranoj duzini od vrha vektora x pa do ravnine
najkracim putom, dakle okomito na nju. Okomito na ravninu znaci
paralelno s njenim vektorom normale, dakle, a=s*n . Jos je
preostalo odrediti s . Pretpostavimo da n strsi iz ravnine u onaj
poluprostor u kojem je i x (rezultat je isti i uz drugu pretpostavku,
naravno, sto se moze lako dokazati zamjenjujuci u
rezultatu n |-> -n ). Tad su a i n suprotne orijentacije (jer a ulazi
u ravninu, iz istog poluprostora u koji je n izasao), pa je zapravo
s negativan, s=-t . a=-t*n , t>=0 . Zbog normiranosti od n , taj
t je upravo duljina od (vektora) a .
Sad t mozemo odrediti iz pravokutnog trokuta kojem su katete ona
orijentirana duzina od koje je nastao a ,
te projekcija x-a na ravninu, a hipotenuza je x . Oznacimo s alfa kut
izmedu vektora n i x . Tad je kut izmedu x i ravnine ocito pi/2-alfa,
pa je t dan sa (sinus u pravokutnom trokutu)
t=|x|*sin(pi/2-alfa)=|x|*cos alfa .
No ono sto je zgodno je da je n normiran, pa je to dalje jednako
t=|x|*1*cos alfa=|x|*|n|*cos(kut(x,n))=(x|n) ,
dakle skalarni produkt. Napokon imamo sve, vracamo se natrag:
s=-t=-(x|n) => a=s*n=-(x|n)n => Ax=x+2a=x-2(x|n)n .
Formula koju je korisno imati na umu. :-)
Sad jos samo da vratim dug sto se tice orijentacije od n ...
naravno x-2(x|-n)(-n)=x+2(x|n)(-1)n=x-2(x|n)n ,
dakle zaista je svejedno koji n uzeli, dok god je jedinican.
Ako nije, zamijenimo u formuli n |-> n/||n|| , i dobijemo
opcenitiju formulu,
Ax=x-2(x|n/||n||)(n/||n||)=x-2/||n||*(x|n)*(1/||n||)*n=
=x-2/||n||^2*(x|n)n=x-2(x|n)/(n|n)*n .
Jupi. Sad mozemo to primijeniti npr. na onaj gornji operator,
da vidimo jesmo li dobro izracunali :-).
n=(1,1,1) , genericki X=(x,y,z) , dakle
AX=X-2(X|n)/(n|n)*n=
=(x,y,z)-2((x,y,z)|(1,1,1))/((1,1,1)|(1,1,1))*(1,1,1)=
=(x,y,z)-2(x+y+z)/(1+1+1)*(1,1,1)=
=(x,y,z)-2/3*(x+y+z,x+y+z,x+y+z)=
=(x/3x-2y/3-2z/3,-2x/3+y/3-2z/3,-2x/3-2y/3+z/3) .
Yeah. :-)
[/lesson]
Pitanja? :-)
--
Veky ... mada mu nedostaje jedna zvjezdica u haremu ...