From veky@student.math.hr Tue Dec 23 22:17:03 2003 Subject: Re: 2^pi, cini mi se moguce dokazati. Lines: 308 Message-ID: <slrnbuhbkl.k5a.veky@student.math.hr> References: <br048q$dok$1@ls219.htnet.hr> <slrnbtgikb.fns.veky@student.math.hr> <bra0gv$heg$1@ls219.htnet.hr> In article <bra0gv$heg$1@ls219.htnet.hr>, John S. Myth wrote: >> Hm... buduci da ovo nije (so)^2 :-), pretpostavit cu da se 'so' >> veze uz najblizi nezatvoreni 'say'... ;-) > >An excellent assumption. :-) Wasn't so hard. :-) >> [lesson title="Sto je zapravo potenciranje? - ZF view"] >> Dakle ovako... uobicajenu "definiciju" >> kardinalnih brojeva vjerujem da >> znas (ono, bijekcije, "imati jednako mnogo elemenata", razlicite >> beskonacnosti, alef-nula, kontinuum i tome slicno) - ako ne znas, ili >> nisi siguran u to znas li, say so s odgovarajucim indeksom...;-) > >So s odgovarajucim indeksom. Ahm. >(Trebao bih znati, ali bas me taj dan kad se radilo >[mizerno malo] o teoriji >skupova nije bilo u skoli, >a mozes misliti koliko sam se raspitivao... ;-)) Your bad. No dobro... [lesson title="brojevi?"] Hocemo odgovoriti na pitanje "sto je broj" (naravno, bilo bi lijepo saznati sto je 17 , ali jos bi bilo ljepse saznati nesto malo egzaktnije o cudnim "brojevima" tipa 'beskonacno'... univerzalnost matha i ovaj put nam ide na ruku). Na puno mjesta u mathu, zeleci definirati neki X , najvise se priblizavamo kad uspijemo specificirati kad su tocno "dva" Xa jednaka. (O razlozima zasto je to tako, o pogledu ZFa na to, ukratko - opcenito o relacijama i klasama ekvivalencije cemo u 2004oj.:) Dakle, kad su dva broja jednaka? Dobro pitanje. :-) S obzirom na to da se danas prakticki cijeli math pokusava zakaciti za teoriju skupova, pokusajmo i mi to ovdje. Povezimo skupove s brojevima. To se moze na vise zanimljivih nacina, ali onaj koji valjda odmah pada na pamet je "jednostavno" prebrojati elemente u skupu. So, "broj" je "broj elemenata nekog skupa", a nase pitanje "kad su dva broja jednaka" postaje pitanje "kada dva skupa imaju jednako mnogo elemenata". Ne bi vjerovao, we're making some progress here. :-) Sad imamo dva skupa. Sto mozemo s njima? Promatrati njihove presjeke, unije, razlike i ostalo "ocito" je besplodno, jer oni ovise o konkretnim elementima skupova, a ne o njihovom broju. Npr. kao sto se dolje vidi, za svaka dva skupa postoje skupovi s jednako mnogo elemenata koji su medusobno disjunktni. Promatrati relacije na njima na prvi pogled se isto cini slijepom ulicom, dok god pokusamo promatrati individualne relacije (koje naravno ovise o individualnim argumentima, odnosno elementima tih skupova). No ako nas zanimaju genericki relacije s nekim svojstvima (koja se izrazavaju kvantificirano pomocu vezanih varijabli, tako da ne ovise o konkretnim elementima), stvar moze dobiti smisao. Npr. (neka su skupovi S i T , relacija izmedu njih je r ) uzmimo svojstvo (Ax@S)(Ey@T)(xry) (za svaki element iz S postoji bar jedan element iz T koji je s njim u relaciji). Nazovimo takve relacije "totalnima" (cisto da imamo neki naziv). Naravno, neka konkretna totalna relacija ovisit ce o konkretnim elementima od S i T , ali (jer su varijable x i y vezane) samo _postojanje_ neke totalne relacije izmedu S i T ocito nece biti vezano uz konkretne elemente, vec samo uz njihov broj. Npr. ako S nije prazan, a T jest, trivijalno je vidjeti da ne postoji totalna relacija r:S--T (inace, totalne relacije mozemo oznacavati s r:S-/T - dobit ce puno smisla kasnije). Jer, kakav god bio x@S (a postoji jer je S neprazan), za njega mora postojati neki y@T (koji je jos u relaciji s njim, ali to je ovdje nebitno), sto je nemoguce ako je T prazan. Jupi. Imamo svojstvo relacije koje nam karakterizira (ne)praznost: totalna relacija iz S u T (za takvu se jos kaze "_sa_ S u T" - prijedlozi su prilicno bitni, ali necemo sad previse sitnicariti:) nam garantira da ako je S neprazan, takav mora biti i T - odnosno, ako je T prazan, broj elemenata u S mora biti jednak kao u T . Eto, imamo sto znaci da dva skupa imaju jednako mnogo elemenata, ako je jedan od njih prazan. :-) It may not seem like much, but there's more to come... Ok, meditirajmo malo nad tim " S je jednakobrojan s T " i zasto gornja stvar pali samo kad je T prazan. Hm... mozda ovo gore (ref postojanje totalnih relacija) zapravo znaci " S je manji od T " (uzet cu si ovo kao handy skracenicu za "imati manje (ili jednako) elemenata od")? To bi objasnilo ovo gore - ako je T prazan, strogo manje ionako ne moze biti, pa "manje ili jednako" moze biti jedino "jednako". Well... blizu, ali ne sasvim tocno. S:={a,b} , T:={d} . r:={(a,d),(b,d)} (i a i b su u relaciji s d ). r:S-/T , ali S ocito ima vise elemenata. Naravno, sad vidimo u cemu je stvar. Cim je T neprazan, ima neki element (ovdje d ) koji se moze neograniceno "reciklirati" u r . Kako to sprijeciti (pomocu kvantifikatora, odnosno vezanih varijabli)? Generalizirajmo malo kvantifikatore... Sto znaci (kvantifikator) "E" ? Ok, "postoji". No kad bismo znali brojeve:-), to bismo ocito preveli kao "ima ih 1 ili vise". Dualni kvantifikator bi onda bio "ima ih 1 ili manje", i on se oznacava s "!" (ispred varijable, that is - ispred svojstva mi jos uvijek oznacava negaciju. Ah taj ASCII...:). Kao prvo, sto on znaci? (!y@S)P(y) znaci da ili nema ya iz S sa svojstvom P (sto smo mogli zapisati i bez njega: (Ax@S)!P(x) ), ili pak da postoji, ali samo jedan. Mozemo ovako lukavo to reci: svaka eva ( ya iz S sa svojstvom P ) su jednaka - tj. (Ay@S)(Az@S)(P(y)&P(z)=>y=z) . Kao drugo, iz gornjih kvantifikatorskih reprezentacija (ova (A...)-cudovista:) vidimo da nam striktno zaista ne trebaju brojevi za to iskazati - fraze poput "1 ili manje" su nam samo posluzile da bismo heuristicki bolje shvatili sto se zeli. Sto ce nam to? Pa vratimo se gore. Htjeli smo osigurati da se elementi od T ne recikliraju, odnosno da je svaki element x@T upotrijebljen u najvise jednom uredenom paru u relaciji. Znamo da su uredeni parovi jednaki ako su im jednake posebno prve i posebno druge komponente, no ovdje su im druge komponente ocito jednake - x , naime - pa se stvar svodi na "najvise jedan y@S s kojim je x u relaciji". Simbolicki, (Ax@T)(!y@S)(yrx) . Takve relacije se zovu "injektivne", i biljeze se s r:S/-T . Relacija koja je istovremeno i injektivna i totalna zove se "povecavajuca" relacija, i, logicno, biljezi s r:S/-/T . Zasto povecavajuca? Sad bi trebalo biti jasno... injektivnost sprecava recikliranje elemenata iz T , a pod tim uvjetom totalnost osigurava da S bude manji od T . Drugim rijecima, r sa S 1u T (injektivno "u") "povecava" skup. (primijetimo da i ove "polustrelice" S/-/T "rastu" krecuci se od S prema T ) Naravno, sad samo zamjenom uloga S i T (kaze se: "transponiranjem" relacije) dobivamo "smanjujuce" relacije, pa one koje su i jedno i drugo ima smisla zvati "relacijama ocuvanja brojnosti" (latinski, "relacijama ekvipotencije"), a postojanje takve relacije izmedu dva skupa uzeti kao garanciju (-> definiciju) koncepta da imaju jednako mnogo elemenata. No tu se iz tradicionalnih razloga pojavljuju neki novi zanimljivi nazivi, pa cu ih ukratko navesti. Relacija za koju vrijedi (Ay@T)(Ex@S)(xry) (dakle, transponirana totalnost) zove se surjektivna relacija, i biljezi s r:S\-T (primijeti, kao totalna, samo s "polustrelicom" u drugom smjeru). Relacije za koje vrijedi transponirana injektivnost, odnosno (Ax@S)(!y@T)(xry) zovu se jos i funkcionalne relacije, odnosno skraceno (parcijalne) funkcije. Jedinstvenost ya za fiksni x nam omogucava da ga nazovemo nekako u ovisnosti o x , pa ga zovemo r(x) (u tom slucaju cesto se umjesto r za "relacija" upotrebljava f za "funkcija", pa imamo y=f(x) ). Oznaka za parcijalnu funkciju je time f:S-\T . Sad na funkcionalne relacije aka funkcije mozemo primjenjivati ostale atribute i vidjeti sto se dobiva... Totalne & funkcionalne relacije se naravno zovu totalne funkcije, i oznacavaju s f:S->T (primijeti, dvije polustrelice sklopile su se u jednu strelicu - takoder, kvantifikatori se isto spajaju, pa se za (Ax@S)(Ey@T)(xry)&(Ax@S)(!y@T)(xry) pise (Ax@S)(E!y@T)(xry) ). Cesto, kad se kaze samo "funkcija", misli se na totalnu funkciju - no ne uvijek. Npr. tg je parcijalna funkcija iz |R u |R , ali nije totalna (totalna bi se, kao i relacija, zvala _sa_ |R u .R ). Injektivna totalna funkcija zove se injekcija, oznaka naravno f:S/->T . Surjektivna totalna funkcija zove se surjekcija, naravno oznake f\->T . I (naravno)^2, injekcija i surjekcija, odnosno, povecavajuca i smanjujuca relacija, odnosno, relacija koja je istodobno totalna, funkcionalna, injektivna i surjektivna (that is, (Ax@S)(E!ysT)(xfy)&(Ay@T)(E!x@S)(xfy) ), zove se bijekcija, i oznacava s f:S<->T . Ona je istovremeno garancija da je S manji od T i da je T manji od S , pa dakle time da je S jednakobrojan s T . Jupi. Dakle, dva skupa, S i T , imaju jednako mnogo elemenata ako postoji bijekcija f:S<->T izmedu njih. Sad, kakve to veze ima s beskonacnoscu, i sto dovraga brojevi _jesu_, vjerojatno ce biti "raspiljeno" tamo negdje u 2004oj... [/lesson] >> E sad, time smo uspjeli brojeve (as in kardinalne brojeve) povezati >> sa skupovima. Sad je fora povezati _operacije_ s tim brojevima s >> operacijama sa skupovima... i to je uglavnom jednostavno. Npr. >> umnozak dva kardinalna broja je kardinalni broj Kartezijevog produkta >> odgovarajucih skupova. <- Jasno ovo? > >Ok, to mi je jasno. Good. >> Zbroj dva kardinalna broja je kardinalni broj njihove tzv. disjunktne >> unije ([VTN:]xunije[/], po uzoru na "xor":), koja se definira kao >> A U. B :=(Ax{0})U(Bx{1}) . Ovdje je kao sto vidis mala komplikacija >> zbog toga sto A i B ne moraju biti disjunktni in the first place, ali >> lako se ucine disjunktnima - Ax{0} i Bx{1} su uvijek disjunktni, >> jasno zasto? > >Nope, moram priznati da mi taj dio nije najjasniji. Hm. XxY je po definiciji skup svih uredenih parova (x,y) gdje je x@X & y@Y . Specijalno, Ax{0} je skup svih uredenih parova (a,0) , gdje je a@A . Analogno, Bx{1} je skup svih (b,1) , za b@B . Da nisu disjunktni, neki element jednog bio bi jednak nekom elementu drugog, (Ea@A)(Eb@B)((a,0)=(b,1)) . No jednakost uredenih parova tad bi dala a=b (irelevantno) & 0=1 ("nemoguce"), sto je kontradikcija. Ok sad? >> Sto zelim reci? Ako mi treba A^3 , >> ocito cu ga definirati kao A^2 x A . >> Hm... a mozda i kao A x A^2 ... to nije isto. ((x,y),z)!=(x,(y,z)) , >> mislim da je to jasno. Hmm... dakle, mozda i nije tako ocito. [:-|] > >Zapravo jest ocito, shvacam taj dio. Hm... word pun. Moja napomena se odnosila na onaj "ocito cu ga definirati kao..." Vidjeh da mozda to i nije tako ^^^^^ :-) - jer je A x A^2 takoder prirodni kandidat, razlicit od ovog prvog. >> I ofCourse, ne samo jedan - sto je s uredenim cetvorkama, petorkama, >> i slicnim cudovistima? >> A o |N-torkama, |R-torkama da i ne govorim...:-o > >Pretpostavljam da |N-torke i n-torke bas i nisu ista stvar, eh? :-) Naravno da nisu. Osim ako je n=|N :-). Dolje smo rekli da su to zapravo funkcije s odredenom domenom. A funkcije mogu biti jednake jedino ako su im domene jednake. >> Eh... sad to vec lici na nesto. Preciznije, ovaj uvjet jako lici na >> definiciju jednakosti funkcija... > >Gotcha. Easy as pie. InFact, much easier than \pi ... ;-) >> i zaista, ako umjesto x_i pisemo f(i-1) (zasto -1 ? Pa sad... >> recimo zasad samo da je brojanje od 1 >> jako neprirodno ustvari, i da je >> puno bolje poceti brojati od 0 ... sto uostalom C-programeri znaju >> jako dobro;) > >Zadnjoj navedenoj grupaciji pripadam. ;-P Znam, zato to i napomenuh ovdje. ;-) Moji lessoni su cesto targeted. :-) >> Dakle, 5orke su funkcije s domenom 5 . Lijepo zvuci, zar ne? > >Svida mi se. Kvacica. :-) A sad gore, i vidi sto si izvalio s |N-torkama i n-torkama. :-) >> (uostalom, kao i sva prava mathematika:) > >Wheeeeeeeeee! ;-))) (-: >> Naravno, sad je jasno i >> sto su 124orke , i |N-torke (poznatije pod imenom "nizovi":), >> i |R-torke (poznatije pod imenom "funkcije realne varijable"), >> i puno zahtjevniji objekti tog tipa. > >Nadam se da se nisi gore raspisao o tome sto su |N-torke... Nisam gore, vec upravo ovdje. Funkcije s domenom |N . Aka nizovi. > Prelijen sam da scrollam i popravim. ;-) No problem. Uskoro ces postati lijen za prescrolati ovo i jednom, a kamoli vise puta... ;-o :-9 :-) >> u A^5 je funkcija f:5->A . Stovise, A^5 je upravo skup svih funkcija >> s 5 u A , a njegov kardinalni broj itekako ima smisla zvati >> petom potencijom kardinalnog broja od A . > >Ok, mislim da ovo shvacam. Very good. >> Sad je jasno da je u cijelog gornjoj prici >> 5 bio samo placeholder, kojeg >> je prilicno jednostavno apstrahirati. >> Dakle, A^B je skup svih funkcija >> s B u A , a njegov kardinalni broj >> moze dobro posluziti da se definira >> potenciranje kardinalnih brojeva. > >Mm-hm. Very_good_2 :-) >> Jupi... dakle, (bar za konacne brojeve m i n , >> lako je to i kombinatoricki >> provjeriti), m^n jednak je broju funkcija sa >> nekog n-clanog skupa u neki m-clani skup. >> [/lesson] > >Awesome lesson! Thanx, dude! ;-) Hvala tebi. Na cemu, reci cu ti kad upises math. ;-) >> Sad, koristeci ovo, za domacu zadacu dokazi (ili opovrgni:) : >> 3^2=9 >> a^1=a za svaki a >> 1^a=1 za svaki a >> 0^0=1 >> a^0=1 za svaki a >> 0^a=0 za svaki a>0 >> 2^card(A)=card P(A) <- partitivni skup, ie skup svih podskupova od A >> 2^alef_0=continuum <- realnih brojeva ima koliko i skupova prirodnih >> continuum^(alef_0)=continuum <- realnih nizova ima koliko i brojeva >> >> Naravno, za neke od njih trebat ce ti prilicno precizna definicija >> pojma "funkcija", no o tome jednom drugom prilikom... > >Dugo je ferje... :-) Aha... i ovaj post, isto. ;-) Bye & sve najbolje... -- Veky ... Christmas is coming ...