From veky@student.math.hr Tue Dec 23 22:17:03 2003
Subject: Re: 2^pi, cini mi se moguce dokazati.
Lines: 308
Message-ID: <slrnbuhbkl.k5a.veky@student.math.hr>
References: <br048q$dok$1@ls219.htnet.hr>
<slrnbtgikb.fns.veky@student.math.hr> <bra0gv$heg$1@ls219.htnet.hr>

In article <bra0gv$heg$1@ls219.htnet.hr>, John S. Myth wrote:
>> Hm... buduci da ovo nije (so)^2 :-), pretpostavit cu da se 'so'
>> veze uz najblizi nezatvoreni 'say'... ;-)
>
>An excellent assumption. :-)

Wasn't so hard. :-)

>> [lesson title="Sto je zapravo potenciranje? - ZF view"]
>> Dakle ovako... uobicajenu "definiciju" 
>> kardinalnih brojeva vjerujem da
>> znas (ono, bijekcije, "imati jednako mnogo elemenata", razlicite
>> beskonacnosti, alef-nula, kontinuum i tome slicno) - ako ne znas, ili
>> nisi siguran u to znas li, say so s odgovarajucim indeksom...;-)
>
>So s odgovarajucim indeksom.

Ahm.

>(Trebao bih znati, ali bas me taj dan kad se radilo 
>[mizerno malo] o teoriji
>skupova nije bilo u skoli, 
>a mozes misliti koliko sam se raspitivao... ;-))

Your bad. No dobro...

[lesson title="brojevi?"]
Hocemo odgovoriti na pitanje "sto je broj" (naravno, bilo bi lijepo 
saznati sto je 17 , ali jos bi bilo ljepse saznati nesto malo egzaktnije
o cudnim "brojevima" tipa 'beskonacno'... univerzalnost matha i ovaj put
nam ide na ruku). Na puno mjesta u
mathu, zeleci definirati neki X , najvise se priblizavamo kad uspijemo
specificirati kad su tocno "dva" Xa jednaka. (O razlozima zasto je to 
tako, o pogledu ZFa na to, ukratko - opcenito o relacijama i klasama
ekvivalencije cemo u 2004oj.:)

Dakle, kad su dva broja jednaka? Dobro pitanje. :-) S obzirom na to da
se danas prakticki cijeli math pokusava zakaciti za teoriju skupova, 
pokusajmo i mi to ovdje. Povezimo skupove s brojevima. To se moze na
vise zanimljivih nacina, ali onaj koji valjda odmah pada na pamet je
"jednostavno" prebrojati elemente u skupu.
So, "broj" je "broj elemenata nekog skupa", a nase pitanje "kad su dva
broja jednaka" postaje pitanje 
"kada dva skupa imaju jednako mnogo elemenata".
Ne bi vjerovao, we're making some progress here. :-)

Sad imamo dva skupa. Sto mozemo s njima?
Promatrati njihove presjeke, unije, razlike i ostalo
"ocito" je besplodno, jer oni ovise o konkretnim elementima skupova, a
ne o njihovom broju. Npr. kao sto se dolje vidi, za svaka dva skupa
postoje skupovi s jednako mnogo elemenata koji su medusobno disjunktni.

Promatrati relacije na njima na prvi pogled se 
isto cini slijepom ulicom,
dok god pokusamo promatrati individualne relacije (koje naravno ovise o
individualnim argumentima, odnosno elementima tih skupova). No ako nas
zanimaju genericki relacije s nekim svojstvima (koja se izrazavaju
kvantificirano pomocu vezanih varijabli, tako da ne ovise o konkretnim
elementima), stvar moze dobiti smisao.

Npr. (neka su skupovi S i T , relacija izmedu njih je r ) 
uzmimo svojstvo (Ax@S)(Ey@T)(xry)
(za svaki element iz S postoji bar jedan element iz T koji je
s njim u relaciji). Nazovimo takve relacije "totalnima" (cisto da
imamo neki naziv). Naravno, neka konkretna totalna relacija ovisit ce o
konkretnim elementima od S i T ,
ali (jer su varijable x i y vezane) samo
_postojanje_ neke totalne relacije izmedu S i T ocito nece biti vezano 
uz konkretne elemente, vec samo uz njihov broj. Npr. ako S nije prazan,
a T jest, trivijalno je vidjeti da ne postoji totalna relacija r:S--T 
(inace, totalne relacije mozemo oznacavati s r:S-/T - dobit ce puno
smisla kasnije). Jer, kakav god bio x@S (a postoji jer je S neprazan),
za njega mora postojati neki y@T (koji je jos u relaciji s njim, ali to
je ovdje nebitno), sto je nemoguce ako je T prazan.

Jupi. Imamo svojstvo relacije koje nam karakterizira (ne)praznost:
totalna relacija iz S u T 
(za takvu se jos kaze "_sa_ S u T" - prijedlozi su
prilicno bitni, ali necemo sad previse sitnicariti:)
nam garantira da ako
je S neprazan, takav mora biti i T - odnosno, ako je T prazan, broj
elemenata u S mora biti jednak kao u T . Eto, imamo sto znaci da dva
skupa imaju jednako mnogo elemenata, ako je jedan od njih prazan. :-)
It may not seem like much, but there's more to come...

Ok, meditirajmo malo nad tim " S je jednakobrojan s T " i zasto gornja
stvar pali samo kad je T prazan. Hm... mozda ovo gore 
(ref postojanje totalnih relacija) zapravo znaci
" S je manji od T " (uzet cu si ovo kao handy skracenicu za "imati 
manje (ili jednako) elemenata od")? To bi objasnilo ovo gore - ako je T
prazan, strogo manje ionako ne moze biti, pa "manje ili jednako" 
moze biti jedino "jednako". 

Well... blizu, ali ne sasvim tocno. S:={a,b} , T:={d} . 
r:={(a,d),(b,d)} (i a i b su u relaciji s d ). r:S-/T , ali S ocito
ima vise elemenata.
Naravno, sad vidimo u cemu je stvar. Cim je T neprazan, ima neki element
(ovdje d ) koji se moze neograniceno "reciklirati" u r . Kako to 
sprijeciti (pomocu kvantifikatora, odnosno vezanih varijabli)?
Generalizirajmo malo kvantifikatore...

Sto znaci (kvantifikator) "E" ? Ok, "postoji". No kad bismo znali 
brojeve:-), to bismo ocito preveli kao "ima ih 1 ili vise".
Dualni kvantifikator bi onda bio "ima ih 1 ili manje", i on se oznacava
s "!" (ispred varijable, that is - ispred svojstva mi jos uvijek
oznacava negaciju.  Ah taj ASCII...:). Kao prvo, sto on znaci? 
(!y@S)P(y) znaci da ili nema ya iz S sa svojstvom P (sto smo mogli
zapisati i bez njega: (Ax@S)!P(x) ), ili pak da postoji, ali samo jedan.
Mozemo ovako lukavo to reci: svaka eva ( ya iz S sa svojstvom P )
su jednaka - tj. (Ay@S)(Az@S)(P(y)&P(z)=>y=z) .
Kao drugo, iz gornjih kvantifikatorskih reprezentacija 
(ova (A...)-cudovista:) vidimo da nam striktno zaista ne trebaju brojevi
za to iskazati - fraze poput "1 ili manje" su nam samo posluzile
da bismo heuristicki bolje shvatili sto se zeli.

Sto ce nam to? Pa vratimo se gore. Htjeli smo osigurati da se elementi
od T ne recikliraju, odnosno da je svaki element x@T upotrijebljen
u najvise jednom uredenom paru u relaciji. Znamo da su uredeni parovi
jednaki ako su im jednake posebno prve i posebno druge komponente, no
ovdje su im druge komponente ocito jednake - x , naime - pa se 
stvar svodi na "najvise jedan y@S s kojim je x u relaciji".
Simbolicki, (Ax@T)(!y@S)(yrx) . Takve relacije se zovu "injektivne",
i biljeze se s r:S/-T .
Relacija koja je istovremeno i injektivna i totalna zove se 
"povecavajuca" relacija, i, logicno, biljezi s r:S/-/T .

Zasto povecavajuca? Sad bi trebalo biti jasno... injektivnost sprecava
recikliranje elemenata iz T , a pod tim uvjetom totalnost osigurava 
da S bude manji od T . Drugim rijecima, r sa S 1u T (injektivno "u")
"povecava" skup.  (primijetimo da i ove "polustrelice" S/-/T "rastu"
krecuci se od S prema T )

Naravno, sad samo zamjenom uloga S i T (kaze se: "transponiranjem"
relacije) dobivamo "smanjujuce" relacije,
pa one koje su i jedno i drugo ima smisla zvati "relacijama ocuvanja
brojnosti" (latinski, "relacijama ekvipotencije"), a postojanje takve
relacije izmedu dva skupa uzeti kao garanciju (-> definiciju) koncepta
da imaju jednako mnogo elemenata. No tu se iz tradicionalnih razloga
pojavljuju neki novi zanimljivi nazivi, pa cu ih ukratko navesti.

Relacija za koju vrijedi (Ay@T)(Ex@S)(xry) (dakle, transponirana
totalnost) zove se surjektivna relacija, i biljezi s r:S\-T
(primijeti, kao totalna, samo s "polustrelicom" u drugom smjeru).
Relacije za koje vrijedi transponirana injektivnost, odnosno
(Ax@S)(!y@T)(xry) zovu se jos i funkcionalne relacije, odnosno
skraceno (parcijalne) funkcije. Jedinstvenost ya za fiksni x nam
omogucava da ga nazovemo nekako u ovisnosti o x , pa ga zovemo r(x) 
(u tom slucaju cesto se umjesto r za "relacija" upotrebljava f
za "funkcija", pa imamo y=f(x) ). Oznaka za parcijalnu funkciju
je time f:S-\T .

Sad na funkcionalne relacije aka funkcije mozemo primjenjivati
ostale atribute i vidjeti sto se dobiva...
Totalne & funkcionalne relacije se naravno zovu totalne funkcije,
i oznacavaju s f:S->T (primijeti, dvije polustrelice sklopile su se
u jednu strelicu - takoder, kvantifikatori se isto spajaju,
pa se za (Ax@S)(Ey@T)(xry)&(Ax@S)(!y@T)(xry) pise (Ax@S)(E!y@T)(xry) ).
Cesto, kad se kaze samo "funkcija", misli se na
totalnu funkciju - no ne uvijek. Npr. tg je parcijalna funkcija
iz |R u |R , ali nije totalna (totalna bi se, kao i relacija, zvala
_sa_ |R u .R ).

Injektivna totalna funkcija zove se injekcija, oznaka naravno
f:S/->T . Surjektivna totalna funkcija zove se surjekcija,
naravno oznake f\->T . I (naravno)^2, injekcija i surjekcija, 
odnosno, povecavajuca i smanjujuca relacija, odnosno,
relacija koja je istodobno totalna, funkcionalna, injektivna i
surjektivna (that is, (Ax@S)(E!ysT)(xfy)&(Ay@T)(E!x@S)(xfy) ), 
zove se bijekcija, i oznacava s f:S<->T .

Ona je istovremeno garancija da je S manji od T i da je T manji
od S , pa dakle time da je S jednakobrojan s T .
Jupi. Dakle, dva skupa, S i T , imaju jednako mnogo elemenata
ako postoji bijekcija f:S<->T izmedu njih.

Sad, kakve to veze ima s beskonacnoscu, i sto dovraga brojevi
_jesu_, vjerojatno ce biti "raspiljeno" tamo negdje u 2004oj...
[/lesson]

>> E sad, time smo uspjeli brojeve (as in kardinalne brojeve) povezati
>> sa skupovima. Sad je fora povezati _operacije_ s tim brojevima s
>> operacijama sa skupovima... i to je uglavnom jednostavno. Npr.
>> umnozak dva kardinalna broja je kardinalni broj Kartezijevog produkta
>> odgovarajucih skupova. <- Jasno ovo?
>
>Ok, to mi je jasno.

Good.

>> Zbroj dva kardinalna broja je kardinalni broj njihove tzv. disjunktne
>> unije ([VTN:]xunije[/], po uzoru na "xor":), koja se definira kao
>> A U. B :=(Ax{0})U(Bx{1}) . Ovdje je kao sto vidis mala komplikacija
>> zbog toga sto A i B ne moraju biti disjunktni in the first place, ali
>> lako se ucine disjunktnima - Ax{0} i Bx{1} su uvijek disjunktni,
>> jasno zasto?
>
>Nope, moram priznati da mi taj dio nije najjasniji.

Hm. XxY je po definiciji skup svih uredenih parova (x,y) gdje je
x@X & y@Y . Specijalno, Ax{0} je skup svih uredenih parova (a,0) ,
gdje je a@A . Analogno, Bx{1} je skup svih (b,1) , za b@B .
Da nisu disjunktni, neki element jednog bio bi jednak nekom
elementu drugog, (Ea@A)(Eb@B)((a,0)=(b,1)) . No jednakost uredenih
parova tad bi dala a=b (irelevantno) & 0=1 ("nemoguce"), sto je 
kontradikcija. Ok sad?

>> Sto zelim reci? Ako mi treba A^3 , 
>> ocito cu ga definirati kao A^2 x A .
>> Hm... a mozda i kao A x A^2 ... to nije isto. ((x,y),z)!=(x,(y,z)) ,
>> mislim da je to jasno. Hmm... dakle, mozda i nije tako ocito. [:-|]
>
>Zapravo jest ocito, shvacam taj dio.

Hm... word pun. Moja napomena se odnosila na onaj "ocito cu ga 
definirati kao..."  Vidjeh da mozda to i nije tako ^^^^^ :-) - jer 
je A x A^2 takoder prirodni kandidat, razlicit od ovog prvog.

>> I ofCourse, ne samo jedan - sto je s uredenim cetvorkama, petorkama,
>> i slicnim cudovistima? 
>> A o |N-torkama, |R-torkama da i ne govorim...:-o
>
>Pretpostavljam da |N-torke i n-torke bas i nisu ista stvar, eh? :-)

Naravno da nisu. Osim ako je n=|N :-). Dolje smo rekli da su to zapravo
funkcije s odredenom domenom. A funkcije mogu biti jednake jedino ako
su im domene jednake. 

>> Eh... sad to vec lici na nesto. Preciznije, ovaj uvjet jako lici na
>> definiciju jednakosti funkcija...
>
>Gotcha. Easy as pie.

InFact, much easier than \pi ... ;-)

>> i zaista, ako umjesto x_i pisemo f(i-1) (zasto -1 ? Pa sad...
>> recimo zasad samo da je brojanje od 1 
>> jako neprirodno ustvari, i da je
>> puno bolje poceti brojati od 0 ... sto uostalom C-programeri znaju
>> jako dobro;)
>
>Zadnjoj navedenoj grupaciji pripadam. ;-P

Znam, zato to i napomenuh ovdje. ;-) Moji lessoni su cesto targeted. :-)

>> Dakle, 5orke su funkcije s domenom 5 . Lijepo zvuci, zar ne?
>
>Svida mi se.

Kvacica. :-)
A sad gore, i vidi sto si izvalio s |N-torkama i n-torkama. :-)

>> (uostalom, kao i sva prava mathematika:)
>
>Wheeeeeeeeee! ;-)))

(-:

>> Naravno, sad je jasno i
>> sto su 124orke , i |N-torke (poznatije pod imenom "nizovi":),
>> i |R-torke (poznatije pod imenom "funkcije realne varijable"),
>> i puno zahtjevniji objekti tog tipa.
>
>Nadam se da se nisi gore raspisao o tome sto su |N-torke...

Nisam gore, vec upravo ovdje. Funkcije s domenom |N . Aka nizovi.

> Prelijen sam da scrollam i popravim. ;-)

No problem. Uskoro ces postati lijen za prescrolati ovo i jednom, a
kamoli vise puta... ;-o :-9 :-)

>> u A^5 je funkcija f:5->A . Stovise, A^5 je upravo skup svih funkcija
>> s 5 u A , a njegov kardinalni broj itekako ima smisla zvati
>> petom potencijom kardinalnog broja od A .
>
>Ok, mislim da ovo shvacam.

Very good.

>> Sad je jasno da je u cijelog gornjoj prici 
>> 5 bio samo placeholder, kojeg
>> je prilicno jednostavno apstrahirati. 
>> Dakle, A^B je skup svih funkcija
>> s B u A , a njegov kardinalni broj
>> moze dobro posluziti da se definira
>> potenciranje kardinalnih brojeva.
>
>Mm-hm.

Very_good_2 :-)

>> Jupi... dakle, (bar za konacne brojeve m i n , 
>> lako je to i kombinatoricki
>> provjeriti), m^n jednak je broju funkcija sa 
>> nekog n-clanog skupa u neki m-clani skup.
>> [/lesson]
>
>Awesome lesson! Thanx, dude! ;-)

Hvala tebi. Na cemu, reci cu ti kad upises math. ;-)

>> Sad, koristeci ovo, za domacu zadacu dokazi (ili opovrgni:) :
>> 3^2=9
>> a^1=a za svaki a
>> 1^a=1 za svaki a
>> 0^0=1
>> a^0=1 za svaki a
>> 0^a=0 za svaki a>0
>> 2^card(A)=card P(A) <- partitivni skup, ie skup svih podskupova od A
>> 2^alef_0=continuum <- realnih brojeva ima koliko i skupova prirodnih
>> continuum^(alef_0)=continuum <- realnih nizova ima koliko i brojeva
>>
>> Naravno, za neke od njih trebat ce ti prilicno precizna definicija
>> pojma "funkcija", no o tome jednom drugom prilikom...
>
>Dugo je ferje... :-)

Aha... i ovaj post, isto. ;-)

Bye & sve najbolje...

-- 
Veky        ... Christmas is coming ...