From veky@student.math.hr Tue Jan 27 21:25:33 2004
Subject: Re: Arhimedov aksiom
Lines: 86
Message-ID: <slrnc1dgr4.hue.veky@student.math.hr>
References: <bv67mh$io$1@bagan.srce.hr>

In article <bv67mh$io$1@bagan.srce.hr>, crna_ofca wrote:
>zasto se arhimedov teorem naziva aksiomom?

Sigurno ne zato da ga ti ne bi morala dokazivat. :-> :-)

>mogla sam pitati i u zivo,

Mozda ovako dobijes vise raznolikih odgovora... ;-)

> ali mislim da na grupi sigurno ima ljudi 
>kojima bi dobro dosao odgovor na to pitanje:)

Ima ih. Egzistencija dokazana. :-)

[lesson title="Arhimedov aksiom i neki drugi teoremi;-)"]
Pa dobro... uglavnom, fora je u tome da "sto je aksiom, a sto nije",
ovisi o aksiomatskom sustavu in detail, a i grublje, ovisi o strukturi
koju zelimo opisati. Mislim da je razumljivo da ce bar jedan aksiom
u pokusaju aksiomatiziranja teorije beskonacnih grupa biti prilicno
drugaciji od odgovarajuceg aksioma u pokusaju aksiomatiziranja teorije
konacnih grupa. :-) Ili mozda blizi primjer: peti postulat ("postulat"
se na jeziku moderne logike kaze "nelogicki aksiom", i vrsta je aksioma)
euklidske geometrije se drasticno razlikuje 
od petog postulata geometrije Lobacevskog. 
Stovise, (pod uvjetom da vrijede ostali aksiomi,) njih dva
su nekonzistentna, odnosno ne mogu oba biti ispunjena istodobno (u istom
modelu). Dakle, klase modela tih dviju teorija su disjunktne - nema
modela koji zadovoljava obje. Dodavanjem medusobno kontradiktornih
aksioma jednoj te istoj teoriji dobivamo dvije inkompatibilne teorije.

Postoji i druga krajnost, o njoj malo vise dolje, samo dok navedem jedan
primjer koji je "u sredini". 
ZF , standardna aksiomatika teorije skupova,
i ZFC , njeno prosirenje aksiomom izbora. ZFC jednostavno ima jedan 
aksiom vise nego ZF , i svaki model za ZFC je naravno i model za ZF .
No obrat ne mora vrijediti: moguce je (stovise, nuzno ako je ZF 
konzistentna - na ovom se bazira moj magistarski) 
da postoje modeli za ZF
u kojima vrijedi aksiom izbora (pa su i modeli za ZFC), i da postoje
drugi modeli za ZF u kojima aksiom izbora ne vrijedi (pa nisu modeli za
ZFC). Dakle, klasa modela za jednu teoriju je potklasa klase modela za
drugu teoriju. Dodavanjem aksioma jednoj teoriji suzavamo (i to strogo,
ako je aksiom nezavisan od ostalih) njenu klasu modela.

A sad i ona gore spomenuta druga krajnost, kad su klase modela dviju
teorija zapravo jednake - odnosno, svaki model jedne je ujedno i model
druge, i transponirano. Sustavi aksioma su tada ekvivalentni.
Tu obicno nema nekih revolucionarnih primjera,
jer vecinom nam je samo bitna struktura koju zelimo opisati. Ako imamo
dva aksiomatska sustava koji opisuju istu strukturu (istu klasu modela),
ono sto ce se najcesce dogoditi je da ce jedan od njih (onaj "manje
elegantan", npr. s vise aksioma ili s kompliciranijim aksiomima) pasti
u zaborav, dok ce drugi postati standard za tu strukturu. To se naravno
moze dogoditi i u gornjem kontekstu - jednoj teoriji dodajemo dva
medusobno ekvivalentna (to sad znaci, ekvivalenciju mozemo dokazati
koristeci aksiome pocetne teorije) aksioma ili skupa aksioma.

I to se upravo dogodilo na primjeru aksiomatiziranja |R . Pocetna
teorija je teorija uredenih polja (OFT), 
dakle npr. teorija strukture |Q .
Pitanje je bilo sto dodati da se dobije ono sto danas zovemo 
(topoloska) potpunost. Razvila su se dva (ma zapravo hrpetina, vise
nego nacina za napisat meko c za vrijeme ilirskog preporoda;) sustava::
jedan koji je na OFT dodao dva aksioma: onaj koji danas zovemo pod
imenom Arhimedov jer je Arhimed bio prva poznata faca koji ga je
formulirao, i ono sto danas zovemo Cantorovim teoremom o presjeku
(thatis, svaki padajuci niz segmenata kojima duljine teze k nuli ima
presjek singleton);; te drugi, koji je dodao (valjda Dedekindov)
aksiom o supremumu (namjerno cu ga reci malo egzoticno, vjerujem da
ti standardni oblik vec ide na zivce:-): neprazni skup gornjih meda
nepraznog skupa ima minimum:).. Koji od njih je prezivio, jasno je. :-)

Legacy odatle je da se tvrdnja "svaki je broj manji od nekog 
+visekratnika bilo kojeg fiksnog pozitivnog broja" danas jos uvijek
zove Arhimedov aksiom, iako u current aksiomatskom sustavu potpunih
uredenih polja to nije - vec je teorem kojeg znas;-) dokazati iz
standardnih aksioma |R-A1..15 .

Ono sto se mozda ne naglasi dovoljno cesto, je drugi smjer
ekvivalencije - odnosno, koristeci Cantorov teorem o presjeku kao
aksiom, & Arhimedov aksiom (kao aksiom:), moze se dokazati aksiom
o supremumu (kao teorem;). Naravno, koristeci pritom pocetnu
teoriju OFT , odnosno aksiome A1..14 . Kako tocno, prepustam
tebi da nocas otkrijes... a ja se odoh bacit na ispravljanje
preostalih hrpa kolokvija iz EM.
[/lesson]

-- 
Veky          ... only one man on the Moon ...