From: veky
Newsgroups: hr.sci.matematika
Subject: Re: 2^pi, cini mi se moguce dokazati.
Date: Thu, 11 Dec 2003 10:44:27 +0000 (UTC)
Lines: 119 (excerpt)
Message-ID: <slrnbtgikb.fns.veky@student.math.hr>
References: <br048q$dok$1@ls219.htnet.hr> 
	<slrnbt98r5.mvb.veky@student.math.hr>

>> Ako zbunjeno gledas kakve to veze ima s 0^0 , say so.
>
>So.

Hm... buduci da ovo nije (so)^2 :-), pretpostavit cu da se 'so'
veze uz najblizi nezatvoreni 'say'... ;-)

[lesson title="Sto je zapravo potenciranje? - ZF view"]
Dakle ovako... uobicajenu "definiciju" kardinalnih brojeva vjerujem da
znas (ono, bijekcije, "imati jednako mnogo elemenata", razlicite 
beskonacnosti, alef-nula, kontinuum i tome slicno) - ako ne znas, ili
nisi siguran u to znas li, say so s odgovarajucim indeksom...;-)

E sad, time smo uspjeli brojeve (as in kardinalne brojeve) povezati 
sa skupovima. Sad je fora povezati _operacije_ s tim brojevima s
operacijama sa skupovima... i to je uglavnom jednostavno. Npr.
umnozak dva kardinalna broja je kardinalni broj Kartezijevog produkta
odgovarajucih skupova. <- Jasno ovo?
Zbroj dva kardinalna broja je kardinalni broj njihove tzv. disjunktne
unije ([VTN:]xunije[/], po uzoru na "xor":), koja se definira kao
A U. B :=(Ax{0})U(Bx{1}) . Ovdje je kao sto vidis mala komplikacija
zbog toga sto A i B ne moraju biti disjunktni in the first place, ali
lako se ucine disjunktnima - Ax{0} i Bx{1} su uvijek disjunktni, jasno
zasto?

No sto je s potenciranjem? Da bismo odgovorili na to pitanje, prvo
promotrimo specijalne skucajeve potenciranja kao iteriranog mnozenja.
Naj"jednostavni"ji je valjda A^2:=AxA - Kartezijev produkt skupa sa
samim sobom. Naravno, njegovi "ad hoc" elementi su uredeni parovi,
no lako se vidi da je takav pristup ocajno biased prema broju 2 .
Sto zelim reci? Ako mi treba A^3 , ocito cu ga definirati kao A^2 x A .
Hm... a mozda i kao A x A^2 ... to nije isto. ((x,y),z)!=(x,(y,z)) , 
mislim da je to jasno. Hmm... dakle, mozda i nije tako ocito. [:-|]

Naravno, ono sto bismo htjeli, je da u A^3 ne zive nikakve hibridne
tvorevine, kvaziparovi kojima je jedan element par, vec ono sto 
znamo pod imenom "uredene trojke". That's nice, ali _sto_ je uredena
trojka (ako nije par kojem je jedan element par)? 
Vec smo imali dovoljno neprilika s uvodenjem uredenog para kao 
"nedefiniranog" pojma u naivnoj teoriji skupova (inFact, on se moze
definirati, ali ovdje to nije toliko bitno)... zelimo li reci da nam
treba jos jedan, bez ikakve veze s ovim prvim?
I ofCourse, ne samo jedan - sto je s uredenim cetvorkama, petorkama,
i slicnim cudovistima? A o |N-torkama, |R-torkama da i ne govorim...:-o

"Ocito":-), svi su oni ipak specijalni slucajevi jednog sireg pojma...
samo kojeg? To cemo dobiti ako pogledamo sto zahtijevamo npr. za 
uredene petorke. Sjetimo se da smo za ureden par rekli nesto tipa
"to je objekt (x,y) , koji ima svojstvo da su dva takva jednaki,
(x,y)=(z,w) ,akko x=z&y=w ".
Pogledajmo za 5orku... htjeli bismo nesto tipa "uredena petorka
je objekt (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) , koji ima svojstvo da su dva takva
jednaka, (x_i)_{i:1~5}=(y_i)_{i:1~5} ,akko (zasvaki i:1~5)(x_i=y_i) ".
Eh... sad to vec lici na nesto. Preciznije, ovaj uvjet jako lici na
definiciju jednakosti funkcija... 

i zaista, ako umjesto x_i pisemo f(i-1) (zasto -1 ? Pa sad... 
recimo zasad samo da je brojanje od 1 jako neprirodno ustvari, i da je
puno bolje poceti brojati od 0 ... sto uostalom C-programeri znaju
jako dobro;), a umjesto y_i pisemo g(i-1) , vidimo da mozemo 
5orke smatrati funkcijama... ovu prvu funkcijom f , a ovu drugu
funkcijom g . Na kojoj domeni? Ocito, {0,1,2,3,4} . Taj skup ima i
lijepo ime - ako si pratio prethodne lessone
(recimo onaj "1+1=2"), znas da se on zapravo zove imenom 5 .
Dakle, 5orke su funkcije s domenom 5 . Lijepo zvuci, zar ne?
(uostalom, kao i sva prava mathematika:) Naravno, sad je jasno i
sto su 124orke , i |N-torke (poznatije pod imenom "nizovi":), 
i |R-torke (poznatije pod imenom "funkcije realne varijable"), 
i puno zahtjevniji objekti tog tipa.

No nase su 5orke ipak malo specijalnije, ako pogledamo A^5 . Naravno,
to je sad skup svih uredenih 5orki _s komponentama iz A _. U gornjem
viewu, n-torke postaju funkcije, komponente ocito postaju funkcijske
vrijednosti, a A onda postaje skup iz kojeg se vade funkcijske vrijednosti,
koji je jos poznat pod imenom kodomena funkcije. Dakle, svaki objekt
u A^5 je funkcija f:5->A . Stovise, A^5 je upravo skup svih funkcija
s 5 u A , a njegov kardinalni broj itekako ima smisla zvati
petom potencijom kardinalnog broja od A .

Sad je jasno da je u cijelog gornjoj prici 5 bio samo placeholder, kojeg
je prilicno jednostavno apstrahirati. Dakle, A^B je skup svih funkcija
s B u A , a njegov kardinalni broj moze dobro posluziti da se definira
potenciranje kardinalnih brojeva.

Jupi... dakle, (bar za konacne brojeve m i n , lako je to i kombinatoricki
provjeriti), m^n jednak je broju funkcija sa nekog n-clanog skupa u
neki m-clani skup.
[/lesson]

Sad, koristeci ovo, za domacu zadacu dokazi (ili opovrgni:) :
	3^2=9
	a^1=a za svaki a 
	1^a=1 za svaki a
	0^0=1
	a^0=1 za svaki a
	0^a=0 za svaki a>0
	2^card(A)=card P(A) <- partitivni skup, ie skup svih podskupova od A
	2^alef_0=continuum <- realnih brojeva ima koliko i skupova prirodnih
	continuum^(alef_0)=continuum <- realnih nizova ima koliko i brojeva

Naravno, za neke od njih trebat ce ti prilicno precizna definicija
pojma "funkcija", no o tome jednom drugom prilikom...