From: veky@student.math.hr (Vedran Cacic)
Newsgroups: hr.sci.matematika
Subject: Re: Taylorov red
Date: Mon, 19 Jan 2004 19:14:20 +0000 (UTC)
Lines: 179
Message-ID: <buhasg$js8$8@bagan.srce.hr>
References: <bss9j6$l0m$1@ls219.htnet.hr>

In article <bss9j6$l0m$1@ls219.htnet.hr>, Vjekoslav Kucak wrote:
>Pozdrav grupi!

Hi,

>Mozete mi molim Vas rijesiti ovaj zadatak i malo prokomentirat?

Gladly. :-)

>Razvijte u Taylorov red T(x) oko x=2 funkciju f(x)=1/(3-x) i našite T(5/2)

Dakle ovako...
[lesson title="Taylor - x=2 i oko njega"]
Ako imamo funkciju f(x) , cesto se podrazumijeva da time imamo i pravilo
kojim f mozemo izracunati. No u analizi, cesto funkcije mogu biti dosta
zeznute, te nije otprve jasno kako ih racunati. Cak i kad ih ne smatramo
zeznutima, npr. sin x (kako tko;), prilicno je dobro pitanje kako uopce
izracunati (decimalno, priblizno) npr. sin 1 
(bez kalkulatora koji ima tipku "sin":-) - ili alternativno, pitati se
kako kalkulatori to racunaju kad im pritisnemo tipku "sin":).

Kljuc je u ovom "priblizno" gore. Cinjenica je da za vecinu tih funkcija,
koliko god cudne bile, znamo vrijednost u bar jednoj tocki - najcesce
u 0 . Konkretno ovdje, sin 0 = 0 . Ako bismo mogli nekako doci do
(priblizne, ali proizvoljno blizu - dakle, u limes-smislu) 
vrijednosti u 1 pomocu vrijednosti u 0 , koristeci 
samo jednostavno racunanje (npr. osnovne racunske operacije), to bismo
smatrali dobrim postignucem.

Da vidimo preciznije sto nam sve treba od racunskih operacija, i na
sto se zapravo to odnosi. Cinjenica je da je cak i dijeljenje pre"teska"
operacija, te cemo i njega odbaciti (preciznije, moci cemo ga izraziti
pomocu ove masinerije koju razradujemo, kao sto je upravo slucaj u tvom
gornjem zadatku:). Ostaju zbrajanje, oduzimanje i
mnozenje - i sve to primjenjujemo na realne brojeve koje otprije imamo
i na neki x s kojim trenutno racunamo (npr. x moze biti razlika onih
0 i 1 gore). Sto dobijemo? Par primjera...
	x , 3.14 , zbrajanje -> x+3.14
	x , x+3.14 (vidjeli smo gore da to imamo) , zbrajanje -> 2x+3.14
	x , 2x+3.14 , mnozenje -> 2x^2+3.14x
	5 , 2x^2+3.14x , oduzimanje -> 2x^2+3.14x-5
itd. Lako se vidi da dobijemo tocno sve polinome 
s realnim koeficijentima u jednoj varijabli, x . I oni nam trebaju
(u limes-smislu) aproksimirati f(x) , poznavajuci npr. f(0) .

(Sad vidimo zasto je zgodno da ova pocetna vrijednost bude 0 - ne
moram uvoditi novo slovo, jer mi x upravo oznacava 
razliku izmedu x i 0 :-). No ne moram tako... da mi je pocetni x
(ponekad se jos oznacava s c ) jednak
2 (kao tebi gore), uveo bih novu varijablu h=x-c=x-2(=5/2-2=1/2 ovdje:),
i s njom racunao polinome, p(h) .)

Zgodna stvar kod polinoma je sto ih ima puno slicnih:-), 
ovisno o stupnju, i to nam pruza dobru podlogu za ono limes-priblizavanje
vrijednosti f(x) . "Slicnih" ovdje znaci da se samo stupanj povecao,
odnosno oni koeficijenti koji su bili otprije su ostali isti. Npr.
2+3x+5x^2 i 2+3x+5x^2+4x^3 . Opcenito s a_0+a_1*x+a_2*x^2+...+a_n*x^n
mozemo prijeci na a_0+a_1*x+a_2*x^2+...+a_n*x^n+a_{n+1}*x^{n+1} .
Limes tog niza bio bi lim_n(sum_{k@n}(a_k*x^k)) , odnosno po definiciji
reda jednak sum_{k@|N_0}(a_k*x^k) 
(" k ide od 0 do beskonacno, voli se reci"). Takav red, na neki nacin
polinom beskonacnog stupnja:-), opcenito se zove red potencija (od x)
(sto mislis zasto?:), a ovaj kojeg mi cijelo vrijeme trazimo zove se
Taylorov red.
To nase trazenje zove se _razvijanje_ funkcije f((x)) u Taylorov red 
oko x=c . Specijalni slucaj spomenut u gornjem zagrada-odlomku,
kad nema nove varijable odnosno x=h odnosno razvijamo oko 0 , 
zove se McLaurinov red. 
Svaki pojedini goreref polinom (limes kojih je Taylorov red) zove se
Taylorov polinom (funkcije f , n-tog stupnja, oko c ).

Pogledajmo te polinome kako im rastu stupnjevi:
+stupanj 0: to je konstantni polinom, a buduci da treba aproksimirati
vrijednost f oko c , logicno je uzeti 
konstantu f(c) <- Taylorov polinom nultog stupnja za f oko c :-).
Takoder, sad znamo (gornja prica o slicnim polinomima) da ce svi 
daljnji Taylorovi polinomi za f oko c imat slobodni clan f(c) - gledano
u varijabli h , naravno.
+stupanj 1: ovo je linearni polinom. Slobodni clan mu mora biti f(c) ,
a linearni (u ovoj terminologiji zvan "koeficijent smjera")
treba odrediti. No aproksimiranje funkcije linearnim
polinomom je kao aproksimiranje grafa te funkcije grafom linearnog
polinoma - dakle pravcem. Svi znamo da je to tangenta , ciji je
koeficijent smjera jednak derivaciji f'(c) . I to je to, a mogli smo
i ocitati jednadbu pravca zadanog jednom tockom (c,f(c)) i smjerom:
	T1(h)=f'(c)*h+f(c) <- Taylorov polinom prvog stupnja za f oko c .
+stupanj 2: znamo da mu "rep" mora biti f'(c)h+f(c) , samo je pitanje
sto pomnoziti s h^2 . To dobijemo ako skuzimo da se i derivacija
(nagib tangente) mijenja kao funkcija (namely f' ), te njeno mijenjanje
mozemo aproksimirati linearnim polinomom - time cemo f aproksimirati
kvadratnim. Imamo
	T2(h)=nesto*h^2+f'(c)h+f(c) , dakle
	T2'(h)=2nesto*h+f'(c) , s tim da kao gore 2*nesto treba biti
koeficijent smjera, odnosno derivacija (u c ) funkcije koju 
aproksimiramo, koja je ovdje jednaka f' . To znaci f''(c)=2*nesto , 
odnosno nesto=f''(c)/2 .
	T2(h)=f''(c)/2*h^2+f'(c)*h+f(c) <- Taylorov polinom stupnja 2 ...
+stupanj 3: sad cemo potpuno analogno na f'' povlaciti tangentu.
Opet, mora biti
	T3(h)=nestodrugo*h^3+f''(c)/2*h^2+f'(c)+f(c) , odnosno
	T3'(h)=3nestodrugo*h^2+f''(c)*h+f'(c) , odnosno
	T3''(h)=6nestodrugo*h+f''(c) , dakle 6nestodrugo=f'''(c) .
Iz toga nestodrugo=f'''(c)/6 , odnosno
	T3(h)=f'''(c)/6*h^3+f''(c)/2*h^2+f'(c)*h+f(c) .
Sad vec vidimo da je koeficijent uz h^k jednak k-toj derivaciji
od f u c , podijeljenoj s... cime? 1,1,2,6,.... poznato? :-)
Ako nije, napravi jos jedan korak. Dobit ces 24. Poznato sad?
Naravno, faktorijele. Sveukupno
	Tn(h)=sum_{k:0~n}(f^(k)(c)/k!*h^k) , a Taylorov red
	(jos zamijenimo h s onim sto jest, x-c )
	Too(x-c)=sum_{k:0~infinity}(f^(k)(c)/k!*(x-c)^k) .

E sad... ako funkcija ima n-tu derivaciju u c za svaki prirodni n ,
onda je ocito Taylorov polinom dobro definiran - no red?
Red moze a i ne mora konvergirati. Pokazuje se da je podrucje
konvergencije (skup svih x za koje Too(x-c)@|R ) u realnom slucaju
uvijek interval (moguce beskonacan, poluotvoren, zatvoren, svakakav:),
interior-simetrican oko c . Dakle, ili |R , ili {c} (prilicno
mrsavo podrucje konvergencije, priznat ces - ali ima i takvih
Taylorovih redova:), ili [c-r,c+r] ili [c-r,c+r> ili <c-r,c+r] ili
<c-r,c+r> . r se (ili 0 u slucaju {c} , ili infinity u slucaju |R )
zove _radijus konvergencije_.

Cak stovise, i kad/gdje Taylorov red konvergira, ne mora konvergirati
onom od cega smo posli - dakle f(x) . No uglavnom konvergira k
f-u , ako vec konvergira icemu - patoloski primjeri su ovdje zaista
patoloski:-). Tako dobre funkcije, koje se dadu razviti u Taylorov
red koji konvergira njima samima, zovu se analiticke (na podrucju
konvergencije). Jos bolje su one koje su analiticke na citavom |R ,
i dobra vijest je da su mnoge takve: exp , sin , cos , ....

Okej, dosta teorije, idemo rijesit zadatak. Naravno, za to 
(direktno ga rijesiti po gornjoj formuli) bismo trebali znati
n-tu derivaciju funkcije f u c=2 , sto se moze ali nema potrebe za tim.
Naime, Taylorov red je jedinstven - ako bilo kako uspijemo "pogoditi"
koeficijente, odnosno napisati red potencija koji na nekom podrucju oko c
konvergira k f(x) , rijesili smo zadatak. (Cak stovise, iz toga mozemo
retrospektivno zgodno odrediti n-tu derivaciju od f .:)
Ovdje ce nam u tome pomoci geometrijski red. No prvo tehnicki detalji:
	f(x)=1/(3-x) , c=2
	h=x-2 => x=h+2 => f(x(h))=1/(3-(h+2))=1/(3-h-2)=1/(1-h)

E sad... ako je |h|<1 , tad znamo da h^n tezi k 0 po n (znamo li?:),
pa je ovo gore 1/(1-h)=lim_n((1-h^n)/(1-h)) . Ovo pod limesom je 
tocno suma prvih n clanova geometrijskog niza s pocetkom 1 i kvocijentom
h , dakle sum_{k@n}(h^k) . A limes toga po n je onda jednak redu 
	sum_{k@|N_0}(h^k) <- Taylor, svi koeficijenti su ovdje jednaki 1
So, za |h|<1 zaista vrijedi f(x)=sum_{k:0~oo}((x-2)^k) , i to je
razvoj u Taylorov red. Jos samo podrucje... |h|<1 znaci |x-2|<1 , odnosno
x@<1,3> . Za |h|>1 ocito h^k divergira, pa i red divergira, a za 
|h|=1 (dakle h=+-1 ) su svi clanovi u redu +-1 , i imamo ili
1+1+1+.... <- divergira , 
ili 1-1+1-1+.... <- divergira ( lim(1,0,1,0,....) !@ |R )
Dakle, podrucje konvergencije je tocno x@<1,3> , a radijus konvergencije
je 1 .

Sad jos ovo s 5/2 ...
	x=5/2 => h=x-c=5/2-2=1/2 &
	1<5/2<3 => x je u podrucju konvergencije 
		(a moze i |h|=|1/2|=1/2<1 )
	dakle f(5/2)=sum_{k:0~oo}((1/2)^k) , sto je ocito jednako 2
( 1+1/2+1/4+1/8+.... ).
Naravno (provjera), f(5/2)=1/(3-5/2)=1/(1/2)=2 .

Zanimljivo pitanje: koliko iznosi f'''(2) (bez racunanja 3. derivacije
opcenito:) ?
Pitanje kao uvod u neki sljedeci lesson: kako izgleda McLaurinov
red za sin , cos , exp (hint: derivacije su lijepe)?
Pitanje za aproksimante: izracunajte McLaurinov polinom 10. stupnja
za sin , te pomocu njega priblizno odredite sin 1 .
	Provjerite pomocu kalkulatora koliko ste pogrijesili.
[/lesson]

>Hvala.

Nenial.

-- 
Veky             ... in just a minute ...