From: veky
Newsgroups: hr.sci.matematika
Subject: Re: zasto je 1 +1 = 2?
Date: Sun, 26 Oct 2003 20:30:05 +0000 (UTC)
Organization: CARNet, CROATIA
Lines: 75
Message-ID: <slrnbpobmd.cp0.veky@student.math.hr>
References: <bnemth$3qc$1@bagan.srce.hr>
NNTP-Posting-Host: student.math.hr
X-Trace: bagan.srce.hr 1067200205 12988 161.53.8.14
X-Complaints-To: abuse@carnet.hr
NNTP-Posting-Date: Sun, 26 Oct 2003 20:30:05 +0000 (UTC)
X-Newsreader: slrn (0.9.3.2 UNIX)
Xref: CARNet.hr hr.sci.matematika:99
Status: RO
In article , Helios wrote:
>zasto je 1 + 1 = 2?
[lesson title="1+1=2"]
Odgovorit cu ti cim mi odgovoris sto je 1 i sto je 2 ... :-)
Seriously, s obzirom na to da math postoji vec jaako dugo,
ljudi su kroz povijest prilicno razlicito gledali na te stvari.
Kao posljedica toga, danas imamo hrpu matematickih, mathematickih
i "matematickih" interpretacija osnovnih pojmova kao sto su zbrajanje,
prirodni brojevi itd. Naravno da je u takvom mindsetu tesko dati
definitivan odgovor na gornje pitanje.
Evo ti jedan odgovor koji malo kombinira PA, ZF pa cak i filozofiju
tamo gdje mora (gdje bi bez nje bilo pretesko na ovoj razini):
Prirodni brojevi (nulu smatram prirodnim brojem) su konacni ordinali.
Ordinali su skupovi koji imaju zgodno svojstvo da se mogu usporedivati
("manji", "veci") pomocu relacije "@" (biti element). Na taj nacin
(znamo otprije da je skup S upravo skup svih x koji su elementi od S ),
svaki ordinal postaje skup svih ordinala koji su manji od njega.
Prvi ordinal, _nula_, tad ne moze biti nista drugo nego prazan skup
(jer jos nema nijednog ordinala koji bi bio manji od njega).
Sljedeci ordinal, _jedan_, bit ce skup svih dosad napravljenih ordinala,
a jedini takav dosad je 0 , dakle 1:={0} .
Onaj nakon njega, _dva_, bit ce skup tih dosad definiranih ordinala,
dakle 2:={0,1} .
I tako dalje... vjerujem da je sad jasno da je 3:={0,1,2}, 4:={0,1,2,3},
and so on. Naravno, za taj pristup trebamo izmisliti beskonacno mnogo
imena za brojeve, a to je tesko. Puno je bolje shvatiti da je sve sto
radimo samo primjenjivanje jednog te istog postupka over&over again,
na pocetni ordinal 0 .
Koji je to postupak? Onaj kojim od 0 dobivamo 1 , isti kao onaj kojim
od 1 dobivamo 2 , od 2 dobivamo 3 itd. ... da vidimo:
1={0}, 2={0,1} . Sto smo napravili? Dodali smo u skup element 1 .
2=1U{1} . Isto tako, 3=2U{2} . Vrijedi i dolje: 1=0U{0} (sjetimo se,
0 je prazan skup). Sad je vec jasno da sljedeci ordinal nakon x dobivamo
kao xU{x} . Taj ordinal zove se _sljedbenik_ od x i oznacava
(ovdje, jer imam samo ASCII na rasplaganju) s x' .
Dakle, x':=xU{x} .
So, ono sto smo gore rekli se svodi na to da prirodne brojeve dobivamo
nastukavanjem operacije ' na broj 0 : zaista, 1=0' , 2=0'' , 3=0'''
(provjerite:), itd. No pocetak ne mora biti 0 , mozemo ga jednako tako
prebaciti u bilo koji ordinal k . To prebacivanje zove se _pribrajanje_
broja k (i oznacava s +k ).
Dakle, ono umjesto od 0 krece od k , a dalje nastavlja potpuno
jednako kao i standardna izgradnja prirodnih brojeva, pomocu nastukavanja
operacije ' :
0+k=k (pocetak nije 0 vec k) (pravilo 0+)
x'+k=(x+k)' (ali sljedbenik ostaje sljedbenik) (pravilo '+)
Sad je iz ovog jasno:
1+1= (*prvu jedinicu zamijenimo njenom definicijom*)
={0}+1= (*dodamo prazan skup u uniju*)
=(0U{0})+1= (*definicija operacije sljedbenik*)
=0'+1= (*pravilo '+ gore*)
=(0+1)'= (*na izraz u zagradi primijenimo pravilo 0+ gore*)
=1'= (*definicija operacije ' u suprotnom smjeru*)
=1U{1}= (*zamijenimo prvu jedinicu njenom definicijom*)
={0}U{1}= (*izracunamo uniju*)
={0,1}= (*vidimo da je to upravo definicija od dva*)
=2
QED.
Za domacu zadacu: 2+2=? . Sve potrebno imate. :-)
[/lesson]
HTH & Bye,
--
Veky ... equador ...