From: veky@student.math.hr (Vedran Cacic) Newsgroups: hr.sci.matematika Subject: Re: Magarac Date: Fri, 28 Nov 2003 17:44:02 +0000 (UTC) Message-ID: <slrnbsf2b2.pl0.veky@student.math.hr> References: <bq7k7p$tnb$1@sunce.iskon.hr> In article <bq7k7p$tnb$1@sunce.iskon.hr>, PDIovia wrote: >Pred par dana zapitali su me o livadi i magarcu. Obecao sam da cu naci >rjesenje. Nakon mnogo ispisanih listova zakljucio sam da necu ispuniti >obecanje. Prica iz koje je nastao problem glasi: > >Po ocevoj smrti dvojica brace naslijedila okruglu livadu ogradenu drvenom >ogradom. Jedan od brace na livadi napasa magarca, a drugi kosi travu za >svinju. Na koju duzinu uzeta, vezanog za stup ograde, mora vlasnik vezati >magarca da bi mu uze dozvoljavalo pasti samo pola livade? Ok, s obzirom na to da nije zadan polumjer originalne livade, a jasno je da se samo trazi faktor - koliko puta je duljina uzeta veca od spomenutog polumjera, BSOMP da je duljina polumjera 1 . Ako nije, ovo sto sam dobio pomnozi s r . r je inace nultocka (jedina pozitivna, odnosno na [0,2] ) funkcije f(r):=2(r^2-2)arccos(r/2)+pi-r*sqrt(4-r^2) , 0<=r<=2 . Buduci da je (malo pisanja, ali lako se vidi) f'(r)>0 na <0,2> , f je rastuca funkcija, pa prema tome i injekcija na danom intervalu. Takoder, f(0)=-pi , a f(2)=pi , pa je zbog rastucosti i neprekidnosti od f , slika od f jednaka upravo [-pi,pi] . Sve skupa znaci da je f bijekcija izmedu [0,2] i [-pi,pi] , pa ima jedinstvenu inverznu funciju g:[-pi,pi]->[0,2] . Po gore recenom, g(0) je trazeni broj. I, da preduhitrim blesava pitanja: ako te zanima mozes li g izraziti pomocu kompozicije i multipozicije (samo) osnovnih racunskih operacija, trigonometrijskih i eksponencijalnih funkcija te njihovih inverza, ne, ne mozes. Bas kao sto npr. exp ne mozes izraziti kao polinom. Ali zaista ne vidim sto ce ti to. >Povodom ovog magareceg posla otvorit ce se tri cetiri butelje Frankovke. >Budem li imao rjesenje nece se piti moja Frankovka. Nudim rjesavatelju dvije >butelje Frankovke kako bih umanjio trosak. Razumije se da se ne traze >rjesenja tipa konacnih elemenata sa zanemarivom pogreskom u rjesenju. Ali kad je tako slatko... evo, samo prvih 1000 decimala. :-) 1.1587284730181215178282335099335091496882922664920965118206958848206698025591 960931993216107308604381759674951803405182901392508985190992648315448469064799 414791317485292123564021555016323125555068614107819723352355017317306534399883 035057982248155293321714183593309129563848559445480412755470688165214184020376 396104926776710564427532913272312653240381347707079948614142632564637866611228 322908975517411157362452541702282071955925036239491648880320693705106905284051 990764163923397810468333341449622836912519720794889224493727803571735337438618 160160197964646581839202002940517264922453929588320299790762031259869736143738 544374500006031757672775334939964804408398348421423121948792589572154642581160 586956577692540477101573825828428354382960688132803168748990754293754261432910 288834902554802821100581989458954578148215446251280360480550472696579583700114 312189242637950510675034006694541841932378997473405934800883182728764031566063 07401642923262838015150178205371556898600742309936662491894395860 (-; BTW, ne znam sto je Frankovka, i ne zanima me. :-) -- Veky ... don't they know it's the end of the world ...