From: Vedran Cacic <veky@student.math.hr> Newsgroups: hr.sci.matematika Subject: Re: Moivreova formula Date: Mon, 1 Mar 2004 20:36:27 +0000 (UTC) Lines: 117 Message-ID: <slrnc477nd.8il.veky@student.math.hr> References: <c1uvcu$mnd$1@ls219.htnet.hr> On 2004-03-01, Nikola <ja_legenda@ri.hinet.hr> wrote: > Zanima me dokaz ove formule. Ako netko ima neki link ili zna gdje ga mogu > pronaci? Ma kakav link, kakvi bakraci... vrijeme je da vratim jedan stari dug... ;-) Kao sto se vjerni pratitelji mojih lessona sjecaju:-), u "Taylor - x=2 i oko njega" , od 2004-01-19 , ( http://cromath.math.hr/~veky/hsmath/L1/taylored.html , za one koji se zele prisjetiti:) objasnio sam jedan zgodan view na Taylorove redove, i njihovu vezu s derivacijama. Izmedu ostalog, u tom lessonu pisu i sljedeci reci: Pitanje kao uvod u neki sljedeci lesson: kako izgleda McLaurinov red za sin , cos , exp (hint: derivacije su lijepe)? Vrijeme je da to raspilimo. [lesson title="realna i imaginarna trigonometrija"] Dakle, tamo smo dosli do formule Too(f)(x-c)=sum_{k:0~oo}(f^(k)(c)/k!*(x-c)^k) , odnosno Taylorov red funkcije f u tocki c je red potencija od x-c , ciji su koeficijenti uzastopne derivacije od f u c , podijeljeni s odgovarajucim faktorijelama. McLaurinov red je Taylorov polinom u 0 , i ako je funkcija analiticka na |R (sto sin,cos,exp jesu - prakticki po definiciji), vrijedi f(x)=sum_{k:0~}(f_k/k!*x^k) , gdje je f_k k-ta derivacija od f u nuli. Za exp,cos,sin derivacije su lijepe (preciznije niz uzastopnih derivacija je periodican), pa to mozemo iskoristiti za razvijanje tih funkcija u red. +exp : Znamo da je derivacija eksponencijalne funkcije ona sama, exp'=exp , pa se tako odmah vidi da je _svaka_ derivacija eksponencijalne funkcije ona sama. e_k , k-ta derivacija od exp u 0 , ce tada biti jednaka exp u 0 , odnosno exp(0)=e^0=1 . Koeficijent uz x^k u razvoju exp u red je time jednak 1/k! , odnosno exp(x)=sum_{k:0~}x^k/k! . Zgodna formula, zar ne? :-) +sin : sin'=cos , a cos'=-sin , dakle uzastopne derivacije su redom sin,cos,-sin,-cos, i onda opet sin i tako periodicki. s_k su tada vrijednosti tih funkcija u 0 , odnosno sin0,cos0,-sin0,-cos0 = 0,1,0,-1 . Buduci da se koeficijenti periodicki ponavljaju (s periodom 4 ), a ovi uz x^0 i x^2 su 0 , vidimo da ce uz sve parne potencije od x koeficijenti biti 0 , pa njih nece biti u razvoju. Prezivjet ce samo one oblika x^(2k+1) , i uz njih ce stajati (-1)^k , podijeljen s faktorijelom eksponenta, odnosno (2k+1)! . sin x=sum_{k:0~}(-1)^k*x^(2k+1)/(2k+1)! +cos : Jos cos , ali to ce biti prilicno analogno. Niz je sada cos,-sin,-cos,sin,.... , vrijednosti u 0 su c_k : 1,0,-1,0,.... , odnosno onih "neparnih" nema, a preostali imaju alternirajuce predznake. cos x=sum_{k:0~}(-1)^k*x^(2k)/(2k)! Eto. Sve to moze biti zgodno, ali mozemo i dalje. Cinjenica je da su ovi brojevi 1,0,-1,0 (za cos , i odgovarajuci 0,1,0,-1 za sin ), malo cudni za zapisati eksplicitnom lijepom formulom. Okej, nule smo maknuli, pa su nam ostali +-1 , i to smo rijesili jednom formulom, (-1)^k . No npr. kod cos , definitivno bode u oci to sto je -1 na k , a pored njega x na 2k (i sve ostalo u tom clanu je vezano uz 2k ). Pa dobro, u nastupu genijalnosti.-) sjetimo se da je i^2=-1 , odnosno -1 na k mozemo lukavo zapisati kao i^(2k) . Odnosno, uz (paran) l:=2k , cos x=sum_{l:0~oo;2|l}i^l*x^l/l! Super. Sad nam jos samo smeta ovaj uvjet 2|l . Sto bi se dogodilo da je l neparan? i^l bi tada bio cisto imaginaran broj, odnosno njegov realni dio bi bio 0 . Nula... cek malo, to nam je poznato... to je upravo ono sto zelimo da bude. Naravno, kod realnih brojeva, njihov realni dio su oni sami, dakle lupivsi Re na cijelu stvar necemo nista pokvariti, a maknut cemo uvjet 2|l . cos x=Re sum_{k:0~}i^k*x^k/k! Za sin , stvar je prilicno slicna. Jednom kad uhvatimo pattern, jasno je da se ovdje pojavljuju upravo imaginarni dijelovi od i^k : i^neparno je +-i , upravo s onim predznakom s kojim treba, a i^parno je realan broj, kojem je Im jednak 0 . sin x=Im sum_{k:0~}i^k*x^k/k! Cek malo. Pa to je jedna te ista suma! Pogledajmo je malo poblize. i^k*x^k je (ix)^k (koliko god kompleksno potenciranje moglo biti cudno, ovo je samo i*i*...*i*x*x*...*x , gdje ima k faktora i i k faktora x , pa je jasno da ih mozemo rearanzirati u i*x*i*x*...*i*x , s k faktora jednakih i*x ) sum_{k:0~}i^k*x^k/k!=sum_{k:0~}(ix)^k/k! Ovo djeluje prilicno poznato, zar ne? :-) Pogled gore... to je upravo exp(x) , samo s ix umjesto x , dakle exp(ix) . Sad se pocinje rasplitati... gornje formule su cos x=Re e^(ix) sin x=Im e^(ix) , a kako je svaki kompleksan broj z jednak ' Re z + i * Im z (po definiciji Re i Im ), vrijedi e^(ix) = cos x + i * sin x , famozna Eulerova formula. (Desna strana se jos ponekad oznacava sa cis x ("cis" kao "cos+i*sin").) (Kad smo vec tu, uvrstivsi x=pi i prebacivsi sve na lijevo, dobije se "najljepsa formula matha", e ^ ( i * pi ) + 1 = 0 ). A pomocu nje, koristeci osnovna svojstva eksponencijalne funkcije, lako se dobije de Moivreova formula. Naime, u valjda prvom mom lessonu na ovoj grupi (kojeg trenutno nemam pri ruci), dokazao sam e^(z1+z2)=e^z1*e^z2 za kompleksne brojeve z1,2 , koristeci upravo gornju definiciju od exp (pomocu McLaurinovog reda). Iz toga odmah, imajuci n istih pribrojnika ix , dobijemo e^(nix)=e^(ix+ix+...+ix)=e^(ix)*e^(ix)*...*e^(ix)=(e^(ix))^n . Iskoristivsi Eulerovu formulu (na lijevoj strani za nx - naravno, nix=inx ; na desnoj za x ), imamo cis nx=(cis x)^n ili raspisanije cos nx+i*sin nx=(cos x+i*sin x)^n . [/lesson] Pitanja za razmisljanje: ovo je bilo za prirodni n . Sto mozete reci o cjelobrojnim n ? Racionalnim (n-ti korijen, za pocetak)? Realnim? Kompleksnim 8-o ? -- Veky ... mada mu nedostaje jedna zvjezdica u haremu ...