Hrpa zadataka s polinomima
Z Odredite koeficijent a@R tako da polinom
f(x)=xn-axn-1+ax+1 bude djeljiv
polinomom g(x)=(x-1)2.
Z (2002-09-20) Odredite koeficijente a i
b polinoma
p(x)=x4+x3-18x2+ax+b ako
je poznato da
p ima trostruku cjelobrojnu nulto~cku. (Hi
Rije~site jedna~gbu p''(x)=0)
Z (k,2002-01-31)
Odredite ostatak pri dijeljenju polinoma
f(x)=x102+x51+5 polinomom
g(x)=x2+2x+1.
Z Odredite sve polinome
p(x)@R[x] takve da vrijedi
(x2+1)p(2x)=p(2x2).
Z Odredite realne brojeve a i b tako
da polinom
f(x)=ax4+bx3+1 daje ostatak
r(x)=2x+3 pri dijeljenju polinomom
g(x)=x2-2x+1.
Z Doka~zite da je polinom
f(x) = (1-xn)(1+x) - 2nxn(1-x)
- n2xn(1-x)2
djeljiv polinomom
g(x)=1-3x+3x2-x3
za svaki
n@N0 (Hi Za n<2
doka~zite posebno).
Z Zadana su dva polinoma:
f(x)=x3-(a+4)x2+(4a+3)x-3a i
g(x)=x3-9x2+26x-24. Odredite sve
a@R takve da bude st(NZM(f,g))=2.
(Hi Da bi im NZM bila kvadratni polinom,
f i g moraju imati dvije
zajedni~cke nulto~cke -- ili jednu dvostruku.)
Z Ako je
f(x)@Z[x] takav da su
f(0) i f(1) neparni brojevi, onda
f nema cjelobrojnih nulto~caka.
(Hi Reducirajte sve modulo 2 . Za f s cjelobrojnim
koeficijentima vrijedi
a==b(.n)=>f(a)==f(b)(.n) -- direktna posljedica
Leme o cjelobrojnim polinomima.)
Z Na~dite sve nulto~cke polinoma
f(x)=2x5-12x3+12x2-14x+12.
Z (2001-04-24)
Doka~zite da polinom s cjelobrojnim koeficijentima, koji u tri
razli~cita cijela broja poprima vrijednost 1 , ne mo~ze imati
cjelobrojnu nulto~cku.
Z Doka~zite da ne postoji
p(x)@Z[x] takav da je
p(11)-p(7) prost broj.
Z Ako polinom
f(x)=x3+px+q@R[x] ima tri realne
nulto~cke, tada je
p negativan broj. (Hi Vìeteove formule!)