Operacije sa skupovima
D Neka su A i B skupovi. Skup svih
objekata koji su u bar jednom od tih skupova zove se njihova
unija. Skup svih objekata koji su u oba, zove se njihov
presjek. Skup svih objekata iz A koji nisu u
B zove se skupovna razlika od A i
B.
AuB := {x ; x@A V x@B} = {x;(E_y@{A,B})(x@y)}
AnB := {x@A : x@B} = {x ; x@A & x@B} = {x;(A_y@{A,B})(x@y)}
A\B := {x@A : !(x@B)} = {x ; !(x@A => x@B)}
D ~Cesto se unutar jednog matemati~ckog zaklju~civanja
promatraju samo elementi (i podskupovi) nekog unaprijed zadanog skupa
S.
Tada se svi "neograni~ceni" kvantifikatori implicitno podrazumijevaju
ograni~cenima Som (tj., (A_x) zna~ci
(A_x@S)), te sve {x;P(x)}-konstrukcije
skupova zapravo zna~ce
{x@S:P(x)} (i samim time postaju puno manje
izlo~zene paradoksima). U tom slu~caju ka~zemo da radimo u okviru
skupa S, i S zovemo univerzalni skup
(za to pojedino matemati~cko zaklju~civanje ~ dakle, univerzalni skup
nije op~tenit pojam, mijenja se od zadatka do zadatka).
D Neka je S univerzalan skup, i A
njegov podskup. Tada se komplement od A
(u okviru skupa S) definira kao skup svih onih elemenata
(od S, naravno) koji nisu elementi od A.
Ac := {x:!(x@A)} =
{x@S:!(x@A)} = S\A
4Z Neka je S:={1..10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
univerzalni skup, te u okviru njega:
A skup svih cjelobrojnih potencij~a od 2
({1,2,4,8});
B skup svih neparnih brojeva ({1,3,5,7,9});
C skup svih prostih brojeva ({2,3,5,7}).
Odredite
AuB,
BnC,
A\C,
C\A,
CnAc,
(AuB)c,
(A\B)c,
C\(AuB),
AuBuC i
AnBnC, te odredite ima li me~du
njima jednakih.
Rj
AuB={1,2,4,8}u{1,3,5,7,9}={1,2,3,4,5,7,8,9}
BnC={1,3,5,7,9}n{2,3,5,7}={3,5,7}
A\C={1,2,4,8}\{2,3,5,7}={1,4,8}
C\A={3,5,7}
CnAc={2,3,5,7}n{3,5,6,7,9,10}={3,5,7}
(AuB)c={1,2,3,4,5,7,8,9}c={6,10}
(A\B)c={2,4,8}c={1,3,5,6,7,9,10}
C\(AuB)={2,3,5,7}\{1,2,3,4,5,7,8,9}=0
AuBuC={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
AnBnC=0
=> BnC=C\A=CnAc
Zadnja jednakost (C\A=CnAc)
vrijedi i op~tenito:
5Z Neka je S univerzalni skup, te A i
B njegovi podskupovi. Doka~zite
A\B=AnBc.
Rj Dokazujemo jednakost dva skupa.
Prva inkluzija: neka je x@A\B. To zna~ci
x@A i !(x@B). Ovo zadnje se mo~ze zapisati
kao x@Bc, ~sto zajedno s x@A daje
x@AnBc.
Druga inkluzija: neka je x@AnBc. Po
definiciji presjeka, x@A & x@Bc.
x@Bc zna~ci !(x@B), a
x@A & !(x@B) daju x@A\B.
Mo~ze i ovako (budu~ti da imamo univerzalni skup):
AnBc = An{x@S:!(x@B)} =
{y@S:y@A&y@{x@S:!(x@B)}} =
= {y@S:y@A&!(y@B)} = {y@A:!(y@B)} = A\B
Dz (DeMorgan) Neka je S univerzalan skup, te
A i B njegovi podskupovi. Tada vrijedi
(AnB)c=AcuBc &
(AuB)c=AcnBc &
(Ac)c=A.
(Hint: negiranje konjunkcije, disjunkcije i negacije)
Z Neka je S univerzalan skup, te A i
B njegovi podskupovi. Od skupovnih operacija zadane su samo
u i c. Prika~zite ostale
skupovne operacije (n i \)
pomo~tu njih.
Rj Po DeMorganu i zadatku 5,
AnB = ((AnB)c)c =
(AcuBc)c
A\B = AnBc =
(Acu(Bc)c)c =
(AcuB)c