P jedne varijable imati skup svih x takvih da
vrijedi P(x) ~ jer to mo~ze dovesti do paradoks~a.
(S druge strane, rekli smo da ako ve~t imamo neki skup A,
tada skup svih onih x@A za koje vrijedi P(x),
nije opasan.)
Primjer takvog "~cudnog" svojstva P(x) za koje ne
mo~zemo imati skup svih onih objekata koji ga zadovoljavaju, je
!(x@x) (x nije element samog sebe). Naime,
zamislivo je, ako na relaciju @ ("biti element") gledamo
kao na ne~sto zaista potpuno nedefinirano (kao ~sto smo rekli u uvodu u
skupove), da skup izme~du svojih elemenata mo~ze sadr~zavati i samog
sebe. Kad bismo npr. mogli imati skup
F={1,2,{1,2,{1,2,{....}}}}F imao 3 elementa ~ 1 , 2 i F.
~Cak ni da takvih skupova (koji sadr~ze sami sebe, dakle koji
zadovoljavaju !P) nema, jo~s uvijek nastavak konstrukcije
stoji ~ skup svih onih koji imaju svojstvo P ~te
jednostavno biti skup svih skupova (koji je ina~ce tako~der
prili~cno opasna tvorevina, ~cak i u svjetovima u kojima je dopu~steno
skupovima imati same sebe kao elemente ~ ali to vi~se nema puno veze s
Russellom), i bit ~te jednako paradoksalan. Dakle, krenimo dalje.
Kao ~sto je napomenuto, promotrimo "skup" R:={x;!(x@x)}
(skup svih onih skupova koji nisu elementi samih sebe), i postavimo
pitanje: je li R@R ili nije? (Rekli smo da je skup upravo
takva neka tvorevina da za bilo kakav x mi mo~zemo
postaviti pitanje je li x@ njega ili nije, i dobiti ~ bar u
principu ~ jednozna~can odgovor.)
Da vidimo: pretpostavimo prvo da nije. !(R@R). Me~dutim,
R je skup (kao:) i gore pi~se da ima svojstvo
P (ie, nije element samog sebe),
a R je skup svih skupova koji imaju svojstvo P.
Dakle, R je jedan od takvih, pa mora biti element od
R. R@R, no to je u kontradikciji s
!(R@R).
Dobro, dakle pretpostavka !(R@R) dovela je do
kontradikcije, pa mora biti R@R. No R@{x;P(x)}
zna~ci upravo da R ima svojstvo P, odnosno
da !(R@R). Kontradikcija. Obje pretpostavke vode do
kontradikcije, dakle nije ni R@R, niti !(R@R).
Zaklju~cak: za R kao skup, za x=R, ne mo~zemo
jednozna~cno odgovoriti na pitanje je li x@R ili nije ~ ne
zato ~sto ne znamo odgovor, ve~t zato ~sto znamo da nijedan odgovor nije
logi~cki mogu~t. Dakle, R nije skup. Zaklju~cak: metodom
"okupi sve objekte koji imaju neko svojstvo" ne dobiva se uvijek skup.