Kvantifikatori
S Rekli smo da x+1=3 nije sud,
i to zato ~sto (njegova istinitost) ovisi o
tome koja je vrijednost od x. (Ina~ce, takva re~cenica,
kojoj istinitost ovisi o vrijednostima nekih varijabli, zove se
parametrizirani sud (ili izjavna funkcija), i ozna~cava s
varijablama u zagradi, npr. P(x).) Naravno,
mo~zemo je u~ciniti sudom, uvrstiv~si neku konkretnu vrijednost za
x (npr. P(4) je la~zan sud).
"D" No mo~zemo je u~ciniti sudom i na jo~s jedan na~cin, a to je da
ka~zemo kako P(x) vrijedi za svaki x,
bez popisivanja svih mogu~tih x koji mogu do~ti u obzir.
To se zove kvantificiranje, i to u ovom slu~caju
univerzalno, po x. Oznaka ovdje ~te biti
(A_x). Dakle, uz gornju oznaku za P(x),
(A_x)P(x) ~te biti (la~zan) sud "Svaki broj zbrojen s 1
daje 3 .".
"D" Jo~s jedno kvantificiranje je kad ka~zemo da
postoji neki x za kojeg vrijedi P(x).
To se zove egzistencijalno kvantificiranje, i ozna~cava se ovdje
s (E_x). Dakle, uz gornju oznaku, (E_x)P(x)
~te biti (istinit) sud "Postoji broj koji zbrojen s 1 daje 3 ."
"D" Postoji jo~s jedan "kvantifikator", koji to nije u strogo
logi~ckom smislu, ali dobro do~de kao pokrata za izjave koje bi bez
njega zvu~cale komplicirano. To je "!_" kvantifikator,
kvantifikator jedinstvenosti, koji ozna~cava
frazu "postoji najvi~se jedan". Naravno, to je samo drugi na~cin da se
ka~ze "svaka dva takva su jednaka". Dakle,
(!_x)B(x) :<=> (A_x)(A_y)(B(x) & B(y) => x=y). Taj
kvantifikator se ~cesto koristi u konjunkciji s egzistencijalnim (koji
ka~ze "postoji bar jedan"), pa zajedno zna~ce "postoji to~cno jedan".
Dakle, (E!_x)B(x) :<=> (E_x)B(x) & (!_x)B(x).
(Tako~der je ekvivalentno s
(E_x)(A_y)(B(y) <=> x=y).)
U gornjem primjeru, (E!_x)(x+1=3) je istinit sud (pod
pretpostavkom da je x oznaka za (npr. cijeli) broj).
"S" Bilo bi lijepo da mo~zemo zapisati i takvu pretpostavku, da
su xevi koji dolaze u obzir ("po kojima se kvantificira",
kako to logi~cari vole re~ti) cijeli brojevi. Za to nam trebaju oznake
za skupove (ovdje ~temo sa Z ozna~cavati skup
cijelih brojeva), te za relaciju "biti element" (ASCII je ovdje jako
siroma~san... ja ~tu koristiti @).
D Takvi kvantifikatori, koji preciziraju skup iz kojeg
"izvla~ce" vrijednosti za svoju varijablu, zovu se ograni~ceni
kvantifikatori. Njihove simboli~cke definicije pomo~tu gornjih
(neograni~cenih) su:
(A_x@S)P(x) :<=> (A_x)(x@S => P(x))
(E_x@S)P(x) :<=> (E_x)(x@S & P(x))
(!_x@S)P(x) :<=> (A_x@S)(A_y@S)(P(x) & P(y) => x=y)
(E!_x@S)P(x) :<=> (E_x@S)(A_y@S)(P(y) <=> x=y).
P Neki (istiniti) sudovi s kvantifikatorima i njihovi ekvivalenti
izra~zeni rije~cima:
(A_x@N)(1|x)
("Svaki prirodni broj je djeljiv s 1 .")
(E_x@R)!(x@Q)
("Postoji iracionalan broj.")
(A_x@R)(E_n@N)(n>x)
("Za svaki realni broj postoji prirodni broj koji je od njega ve~ti.")
(E_n@N)(A_m@N)(n|m)
("Postoji prirodni broj koji je djelitelj svih prirodnih brojeva.")
B Treba paziti na redoslijed kvantificiranja!
(A_n@N)(E_m@N)(n<m)
("Od svakog prirodnog broja postoji ve~ti.") ~ istinito.
(E_m@N)(A_n@N)(n<m)
("Postoji prirodni broj ve~ti od svih.") ~ la~zno.