Kvantifikatori
S Rekli smo da x+1=3 nije sud, i to zato ~sto (njegova istinitost) ovisi o tome koja je vrijednost od x. (Ina~ce, takva re~cenica, kojoj istinitost ovisi o vrijednostima nekih varijabli, zove se parametrizirani sud (ili izjavna funkcija), i ozna~cava s varijablama u zagradi, npr. P(x).) Naravno, mo~zemo je u~ciniti sudom, uvrstiv~si neku konkretnu vrijednost za x (npr. P(4) je la~zan sud).
"D" No mo~zemo je u~ciniti sudom i na jo~s jedan na~cin, a to je da ka~zemo kako P(x) vrijedi za svaki x, bez popisivanja svih mogu~tih x koji mogu do~ti u obzir. To se zove kvantificiranje, i to u ovom slu~caju univerzalno, po x. Oznaka ovdje ~te biti (A_x). Dakle, uz gornju oznaku za P(x), (A_x)P(x) ~te biti (la~zan) sud "Svaki broj zbrojen s 1 daje 3 .".
"D" Jo~s jedno kvantificiranje je kad ka~zemo da postoji neki x za kojeg vrijedi P(x). To se zove egzistencijalno kvantificiranje, i ozna~cava se ovdje s (E_x). Dakle, uz gornju oznaku, (E_x)P(x) ~te biti (istinit) sud "Postoji broj koji zbrojen s 1 daje 3 ."
"D" Postoji jo~s jedan "kvantifikator", koji to nije u strogo logi~ckom smislu, ali dobro do~de kao pokrata za izjave koje bi bez njega zvu~cale komplicirano. To je "!_" kvantifikator, kvantifikator jedinstvenosti, koji ozna~cava frazu "postoji najvi~se jedan". Naravno, to je samo drugi na~cin da se ka~ze "svaka dva takva su jednaka". Dakle, (!_x)B(x) :<=> (A_x)(A_y)(B(x) & B(y) => x=y). Taj kvantifikator se ~cesto koristi u konjunkciji s egzistencijalnim (koji ka~ze "postoji bar jedan"), pa zajedno zna~ce "postoji to~cno jedan". Dakle, (E!_x)B(x) :<=> (E_x)B(x) & (!_x)B(x). (Tako~der je ekvivalentno s (E_x)(A_y)(B(y) <=> x=y).) U gornjem primjeru, (E!_x)(x+1=3) je istinit sud (pod pretpostavkom da je x oznaka za (npr. cijeli) broj).
"S" Bilo bi lijepo da mo~zemo zapisati i takvu pretpostavku, da su xevi koji dolaze u obzir ("po kojima se kvantificira", kako to logi~cari vole re~ti) cijeli brojevi. Za to nam trebaju oznake za skupove (ovdje ~temo sa Z ozna~cavati skup cijelih brojeva), te za relaciju "biti element" (ASCII je ovdje jako siroma~san... ja ~tu koristiti @).
D Takvi kvantifikatori, koji preciziraju skup iz kojeg "izvla~ce" vrijednosti za svoju varijablu, zovu se ograni~ceni kvantifikatori. Njihove simboli~cke definicije pomo~tu gornjih (neograni~cenih) su:
P Neki (istiniti) sudovi s kvantifikatorima i njihovi ekvivalenti izra~zeni rije~cima:
B Treba paziti na redoslijed kvantificiranja!