Veky's MathLand -- EM1&2 - negiranje slo~zenih izjav~a

Negiranje slo~zenih izjav~a

N Slijedi popis kako se negacija pona~sa prema pojedinim veznicima u slo~zenim sudovima:

Negacijom disjunkcije dobivamo konjunkciju, i obrnuto.
- !(P & Q) <=> !P V !Q
- !(P V Q) <=> !P & !Q
Negacijom ekskluzivne disjunkcije dobivamo ekvivalenciju, i obrnuto ~ uz napomenu da je kod tih veznika svejedno negiramo li oba operanda.
- !(P V Q) <=> (!P <=> !Q) <=> (P <=> Q)
- !(P <=> Q) <=> !P V !Q <=> P V Q
Negacijom negacije dobivamo po~cetni sud.
- !(!A) <=> A
Negacijom univerzalne kvantifikacije dobivamo egzistencijalnu, i obrnuto.
- !(A_x)P(x) <=> (E_x)!P(x)
- !(E_x)P(x) <=> (A_x)!P(x)
To vrijedi i za ograni~cenu kvantifikaciju.
- !(A_x@S)P(x) <=> (E_x@S)!P(x)
- !(E_x@S)P(x) <=> (A_x@S)!P(x)
Iz prethodne dvije to~cke, te shva~tanja ograni~cenih kvantifikatora pomo~tu neograni~cenih, dobivamo i
- !(A => B) <=> A & !B

Z Negirajte "Danas je ponedjeljak i pada ki~sa."
Rj "Nije to~cno da je danas ponedjeljak i pada ki~sa." <=> !("Danas je ponedjeljak." & "Pada ki~sa.") <=> !"Danas je ponedjeljak." V !"Pada ki~sa." <=> "Danas nije ponedjeljak, ili ne pada ki~sa."

Z Negirajte "Broj 5 je paran ili je prost."
Rj

"Nije to~cno da je broj 5 paran ili prost."
<=> !( 2|5 V 5@P ) <=> !(2|5) & !(5@P) <=> 
"5 nije paran i nije prost."

Z (Striktno govore~ti, ovo je parametrizirani sud, jer ovisi o n. Ako vam to jako smeta, stavite neki konkretan broj umjesto n.)
Negirajte "Broj n je djeljiv s 10 akko mu je zadnja znamenka 0 .".
Rj Ozna~cimo sa zz(n) zadnju znamenku od n.
!( 10|n <=> zz(n)=0 ) <=> 10|n V zz(n)=0. Dakle, negacija glasi: "Broj n je djeljiv s 10 illi mu je zadnja znamenka 0 ."
Ako nemamo ekskluzivnu disjunkciju na raspolaganju,

!( 10|n <=> zz(n)=0 ) <=> ( 10|n & !(zz(n)=0) ) V ( !(10|n) &
zz(n)=0 )

. Dakle, negacija glasi: "Broj n je djeljiv s 10 a zadnja znamenka mu nije 0 , ili pak nije djeljiv s 10 a zadnja znamenka mu jest 0 ."

Z (Ista napomena kao za prethodni zadatak.)
Negirajte "Broj n je djeljiv sa 6 akko je djeljiv s 2 i s 3 ."
Rj !(6|n <=> 2|n & 3|n) <=> 6|n V (2|n & 3|n). ("Broj n je djeljiv s 6 illi je djeljiv s 2 i s 3 .")
Bez ekskluzivne disjunkcije,

!(6|n <=> 2|n & 3|n) <=>

<=> (!(6|n) & 2|n & 3|n) V (6|n & !(2|n & 3|n)) <=>

<=> (!(6|n) & 2|n & 3|n) V (6|n & (!(2|n) V !(3|n))) <=>

<=> (!(6|n) & 2|n & 3|n) V (6|n & !(2|n)) V (6|n & !(3|n)) .

("Broj n nije djeljiv sa 6 , ali je djeljiv s 2 i s 3 , ili je djeljiv sa 6 ali nije s 2, ili je djeljiv sa 6 ali nije s 3 .")

Z Negirajte "Svaki prirodni broj je paran."
Rj !(A_n@N)(2|n) <=> (E_nN)!(2|n). "Postoji neparan prirodni broj."

P Negacija od "Postoji negativan prirodan broj." je "Svaki prirodan broj je nenegativan.".
!(E_n@N)(n<0) <=> (A_n@N)(n>=0)

!(A_x@R⁺)(E_n@N)(1/n<x) <=>
(E_x@R⁺)(A_n@N)(1/n>=x)