Elementarna matematika 1

1. srpnja 2005.

(1) Neka je R ≠ ∅ simetrična i tranzitivna relacija na skupu A. Dokažite da postoji neprazan podskup B ⊆ A takav da je restringirana relacija P := (B × B) ∩ R, relacija ekvivalencije na B. Uputa: jedan takav skup je B := {x ∈ A : (∃y ∈ A)(xRy)} — ima i drugih.

(2) Riješite linearnu kongruenciju

9x ≡ 18 (mod 24) .

Može li se koeficijent 9 u gornjoj kongruenciji zamijeniti nekim drugim prirodnim brojem (manjim od 24), tako da ona nema rješenja?

(3) Dokažite da je broj

2^{n} + 5^{n} + 8^{n}

djeljiv s 3, ali nije sa 6, za svaki n ∈ ℕ_{0}.

(4) Neka je f : ℤ → ℤ normirani polinom 3. stupnja, s 3 (različite, cjelobrojne) nultočke. Je li f surjekcija? (Uputa: provjerite može li f poprimiti vrijednost 1. Pazite na domenu i kodomenu!)

(5) Riješite jednadžbu (u realnim brojevima)

x + \sqrt{x^{2} − 8} = 2 + \sqrt{x − 3} .

Uz pribor za pisanje, dozvoljeno je imati samo jedan A4 papir s formulama po vlastitom izboru, te (ne grafički!) kalkulator.

Elementarna matematika 2

1. srpnja 2005.

(1) Dokažite ili opovrgnite: za svaki x ∈ ⟨0, π⟩ vrijedi

1 + \sqrt{\frac{(cos 4x + 7)(ctg^{2} x + 1) − 8}{(cos 4x − 1)(ctg^{2} x + 1) + 8}} = \frac{1}{1 − cos^{2} x} .

(2) U ravnini je zadan trapez koji je istodobno tetivni i tangencijalni. Ako znate da je omjer osnovicâ trapeza 3 : 1, odredite omjer površinâ trapezu opisanog i upisanog kruga.

(3) U ravnini je zadana točka P, te pravac s i točka A ∈ s. Konstruirajte romb ABCD, kojem je s os simetrije, a P polovište dužine \overline{CD}. Ne morate provoditi dokaz, ali provedite diskusiju.

(4) Kroz žarišta hiperbole, zadane jednadžbom

x^{2} − (\frac{y}{2})^{2} = 9 ,

povučene su paralele (njih ukupno 4) s njenim asimptotama. U sjecištima tako dobivenih pravaca s hiperbolom, povučene su tangente na nju. Odredite površinu četverokuta koji te tangente omeduju. (U računanju smijete koristiti simetričnost hiperbole.)

(5) Nad stranama ABC i ABD pravilnog tetraedra ABCD brida a, dodani su na njega njemu sukladni tetraedri ABCF i ABED. Odredite oplošje i volumen, te broj vrhova, bridova i strana, tako dobivenog tijela. Posebno obratite pažnju (uz dokaz!) na to je li AEBF jedna strana, ili dvije.

Uz pribor za pisanje, dozvoljeno je imati samo jedan A4 papir s formulama po vlastitom izboru, te (ne grafički!) kalkulator.