Elementarna matematika 1

4. veljače 2005.

(1) Neka je na skupu prirodnih brojeva ℕ dana relacija ⌣^{. .}, ovako:

x ⌣^{. .} y :⟺ M(x, y) = M(x − y, x + y) .

(S M je označena najveća zajednička mjera.) Ispitajte svojstva relacije ⌣^{. .} — refleksivnost, simetričnost, antisimetričnost i tranzitivnost. Svojstva koja relacija ⌣^{. .} ima, morate dokazati. Za svojstva koja nema, trebate naći neki kontraprimjer.

(2) Riješite linearnu kongruenciju

356x ≡ 28^{34} (mod 17) .

(Uputa: prvo reducirajte koeficijente modulo 17.)

(3) Neka je za svaki prirodni n,

a_{n} := 2 + 4 + 6 + ... + 2n

(suma prvih n parnih prirodnih brojeva). Napišite prvih nekoliko (dovoljno je 5) članova niza (a_{n})_{n}. Iz toga (ili na drugi način) zaključite opću formulu za a_{n}, te je dokažite matematičkom indukcijom.

(4) Imaju li polinomi

p(x) := x^{3} + 2x^{2} + x + 1 , i
q(x) := x^{5} + 2x^{3} + 3x − 4 ,

zajedničkih nultočaka?

(5) Riješite po x u ℝ nejednadžbu

log_{9} \frac{x}{81} < \sqrt{log_{3} \frac{3}{x^{4}}} .

Vedran Čačić

Rezultati: ponedjeljak, 7. veljače u 16:00.

Elementarna matematika 2

4. veljače 2005.

(1) Izračunajte koliko je

arctg 2 + arctg 3 .

(Uputa: adicijska formula za tangens.)

(2) U četverokutu ABCD sa stranicama a = 15, b = 5, c = 13 i d = 19 vrijedi α + β = γ + δ. Izračunajte površinu tog četverokuta.

(3) U ravnini je nacrtana točka P i kružnica k (bez istaknutog središta). Konstruirajte romb ABCD kojem je P polovište stranice AD, središte kružnice k polovište stranice CD, a vrh A leži na kružnici k. Provedite dokaz i diskusiju.

(4) U elipsi zadanoj jednadžbom

(\frac{x}{4})^{2} + (\frac{y}{5})^{2} = 1 ,

odredite geometrijsko mjesto polovištâ svih tetivâ koje prolaze gornjim žarištem. Koja je to krivulja?

(5) Iz papirnatog kruga polumjera 13, izrezan je kružni isječak površine 13π. Rubovi (preostalog dijela) nastali izrezivanjem su spojeni, i tako je dobiven tuljak. Odredite:

a) Koliko papira treba da se pokrije otvor tuljka?

b) Koliki je volumen tako nastalog tijela?

Vedran Čačić

Rezultati: ponedjeljak, 7. veljače u 16:00.