M(x,x)=x , a M(0,2x)=2x , pa relacija nije refleksivna -- npr.
1 nije u relaciji sa samim sobom.
M(x,y)=M(y,x) , a M(x-y,x+y)=M(y-x,y+x) , pa ako su lijeve strane
jednake, jednake su i desne: relacija je simetri~cna.
Nije antisimeti~cna, jer je npr. 1 u relaciji s 2 , i samim tim 2 u
relaciji s 1 , ali nisu jednaki.
Nije ni tranzitivna, jer vrijedi 1 u relaciji s 2 i 2 u relaciji s
1 , ali 1 nije u relaciji s 1.
28^34==11^34=(11^16)^2*11^2==1^2*(-6)^2=36==2(mod17) , pa imamo
356x==16x==-x==2(mod17) , odnosno x==-2==15(mod17) .
Prvih 5 ~clanova je 2,6,12,20,30 , a op~ta formula je a_n=n(n+1) .
Euklidovim algoritmom tra~zimo M(p,q) . q mod p = r1 , gdje je r1(x)=-9x^2-9 . Normiramo, dobijemo r1'=x^2+1 . p mod r1' = r2 , gdje je r2 konstanta -1 , normirano 1 . Dakle p i q su relativno prosti, pa nemaju zajedni~ckih nulto~caka (ne postoji alfa takav da x-alfa dijeli i p(x) i q(x) ).
Uz supstituciju t=log_3(x) , i uvjet x>0 , dobije se t/2-2<sqrt(1-4t) . Da bi to bilo definirano mora biti t<=1/4 , a tada je t/2-2 negativno, pa je nejedna~gba zadovoljena. Dakle t@<-oo,1/4] , iz ~cega x@<0,root{4}(x)] .
Uz x:=arctg2 & y:=arctg3 , imamo
tg(x+y)=(tgx+tgy)/(1-tgxtgy)=(2+3)/(1-2*3)=5/-5=-1 , iz ~cega
x+y=-pi/4+kpi , za neki cijeli k .
x i y su u prvom kvadrantu, pa je x+y izme~du 0 i pi , dakle k=1 ,
odnosno x+y=3pi/4 .
alfa+beta=gama+delta=pi , pa je AD||BC , odnosno ABCD je trapez. Sastoji se od jednog pravokutnika sa stranicama 5 i v , te dva pravokutna trokuta koja zajedno ~cine jedan trokut sa stranicama 13 , 14 i 15 . Po Heronovoj formuli povr~sina trokuta je 84 , pa je v (visina na stranicu duljine 14 ) jednako 2*84/14=12 . Dakle izrezani pravokutnik je povr~sine 12*5=60 , a cijeli trapez ima povr~sinu 84+60=144 .
U k upi~simo neki trokut, S je sjeci~ste simetral~a njegovih stranic~a. Simetralu du~zine SP preslikamo centralnoslimetri~cno s obzirom na P , dobijemo pravac koji ozna~cimo s q . Sjeci~ste q s k daje nam to~cku A . Centralnosimetri~cna to~cki A s obzirom na P je D . Centralnosimetri~cna to~cki D s obzirom na S je C , a osnosimetri~cna to~cki D s obzirom na AC je B .
ABCD je tra~zeni romb, jer: A le~zi na kru~znici po konstrukciji A , P je polovi~ste AD po konstrukciji D , S je polovi~ste CD po konstrukciji C (a S je sredi~ste od k jer je sredi~ste opisane kru~znice trokutu upisanom u k ). Po konstrukciji B imamo |AD|=|AB| & |CD|=|BC| , a |AD|=|CD| jer je (polovica) |PD|=|SD| , ~sto vrijedi jer je D na simetrali du~zine SP (a to je zbog A@q ).
Jedini problemati~can korak, osim degeneriranog slu~caja S=P , je presjek k s q . Ako ozna~cimo s:=|SP| , imamo d(S,simetrala[SP])=s/2 , pa d(S,q)=s+s/2=3s/2 . Ako je polumjer kru~znice r , imamo: za s=0 nema rje~senja (tad je S=P , pa zapravo nema jedinstvenog pravca q ); za 0<s<2/3*r , dva rje~senja; za s=2/3*r , jedno; te za s>2/3*r , nema rje~senja.
Gornje ~zari~ste je (0,3) , a pravac koji prolazi njime je x=0 ili y=kx+3 . Sjeci~sta pravca i elipse mogu se dobiti rje~savanjem kvadratne jedna~gbe, no za aritmeti~cku sredinu (polovi~ste) dovoljna je prva Vieteova formula. Koordinate polovi~sta su x=-48k/(25+16k^2) & y=75/(25+16k^2) . Eliminirav~si k=(y-3)/x iz toga, dobijemo 25x^2=16y(3-y) , ~sto je jedna~gba elipse (sa sredi~stem u (0,3/2) i poluosima 6/5 i 3/2 ).
Izrezana je jedna trinaestina kruga, dakle od opsega koji iznosi 26pi ostalo je 24pi . Dakle, polumjer baze tuljka je 12 , pa je njena povr~sina 144pi . Visina je po Pitagorinom teoremu sqrt(13^2-12^2)=5 , pa je volumen 144pi*5/3=240pi .