Elementarna matematika 2

20. rujna 2004.

(1) Neka su α, β i γ kutovi nekog nepravokutnog trokuta. Dokažite da tada vrijedi

tg α + tg β + tg γ = tg α tg β tg γ .

Što ako je trokut pravokutan?

(2) Trapezu se iz središta opisane kružnice vide krakovi pod kutom \frac{π}{3}. Izrazite površinu trapeza samo pomoću njegove visine.

(3) U ravnini su zadana dva pravca, p i q, te jedna kružnica k. Konstruirajte trokut △ABC kojem je k opisana kružnica, p simetrala stranice c, a q simetrala kuta α. Provedite dokaz. U kakvom odnosu moraju biti k i p da bi rješenje postojalo?

(4) Odredite geometrijsko mjesto točaka iz kojih se parabola jednadžbe y = x^{2} vidi pod pravim kutom.

(5) Od paralelepipeda ABCDA′B′C′D′ odsječena su dva tetraedra — jedan ravninom koja prolazi kroz točke B, D i A′, a drugi ravninom kroz C, B′ i D′. Koliki dio volumena početnog paralelepipeda je preostao? ((Paralelepiped je prizma — ne nužno uspravna — kojoj je baza paralelogram.))

Vedran Čačić