Elementarna matematika 1

20. rujna 2004.

(1) (10 bodova) Dokažite da za proizvoljne skupove A, B i C vrijedi

A△C ⊆ (A△B) ∪ (B△C) .

(10 bodova) Na skupu P(ℕ) definirana je relacija ≈ na sljedeći način: A ≈ B akko je skup A△B konačan. Je li ≈ relacija ekvivalencije? Dokažite ili opovrgnite (pri tome smijete koristiti gornju formulu). ((U gornjem, “△” označava simetričnu razliku skupova.))

(2) Dokažite da, za svaki prirodni broj n ≥ 2, broj

2^{2^{n}+1}

završava znamenkom 2.

(3) Ako se broj x pomnoži sa 76, dobije se broj čija je osmina neparan prirodan broj. Koji ostatak daje x pri dijeljenju s 4? (Hint: linearna kongruencija!)

(4) Ako znate da je 1 + i jedna nultočka polinoma

r(x) = x^{5} − 7x^{4} + 17x^{2}(x − 1) + 4x + 6 ,

odredite preostale nultočke.

(5) Riješite nejednadžbu

x + 3\sqrt{2 − x} < 4 .

Vedran Čačić