Elementarna matematika 2

20. veljače 2004.

1. Neka su α, β i γ kutovi nekog trokuta. Je li uz taj uvjet izraz

ctg α ctg β + ctg β ctg γ + ctg γ ctg α

uvijek dobro definiran? Izračunajte koliko on iznosi.

2. Zadan je trapez kojem su krakovi sukladni (jednaki po duljini) jednoj osnovici, a dijagonale sukladne drugoj osnovici. Odredite omjer osnovicâ. (Bonus: dodatnih 5 bodova za rješenje bez korištenja trigonometrije i analitičke geometrije.)

3. Konstruirajte deltoid kojemu su dva kuta prava, a zadan mu je opseg i duljina dulje dijagonale. Provedite diskusiju konstrukcije! (Deltoid je četverokut kojem su susjedne stranice u parovima sukladne.)

4. Neka je zadana hiperbola u koordinatnom sustavu

\frac{x^{2}}{a^{2}} − \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

(a i b su pozitivni realni brojevi). Izračunajte udaljenost od (bilo kojeg) žarišta do (bilo koje) asimptote.

5. Pravilna uspravna četverostrana piramida presječena je ravninom koja prolazi kroz težišta svih četiriju pobočkî. Odredite omjer volumenâ tako dobivenih tijelâ.

Veky